寒假专题-集合与函数.doc

知识点一：集合及其运算例1. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_人。思路分析：本题要借助集合的思想，并利用韦恩图来解决。解答过程：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12（人）。解题后的思考：对于研究集合元素的个数问题常借助韦恩图来解决。例2. 已知集合Ax|x>1，集合Bx|mxm3（1）当m1时，求AB，AB；（2）若BA，求m的取值范围。思路分析：（1）将m1代入求出集合B，再求其与集合A的交集和并集。（2）已知集合的包含关系，求参数的取值范围，关键要分析是否包含分界点。解答过程：（1）当m1时，Bx|1x2，ABx|1<x2，ABx|x1（2）若BA，则m>1，即m的取值范围为（1，）。解题后的思考：借助数轴或韦恩图是解决有关集合问题常用的手段。小结：（一）主要知识：1. 集合、子集、空集的概念；2. 交集、并集、全集、补集的概念； 3. ，；4. ，。（二）主要方法：1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或韦恩图的作用； 2. 含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；3. 集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键。知识点二：函数的概念及基本性质例3. 若函数的定义域为，则的定义域为A. B C. D. 思路分析：本题已知的是函数的定义域，要求的是的定义域，那么弄清“x”与“log2x”的关系就成为解决本题的关键。解答过程：A答案错误地认为自变量都是“x”，所以取值范围也一致；B答案只考虑了“使对数成立”这一个条件，忽视了的定义域的限制作用；D答案求的是对数的值域，也是错误的。只有C答案抓住了问题的本质“x”与“log2x”的取值范围一致。故正确答案是C。解题后的思考：复合函数的定义域：若已知的定义域为，其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为，求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。在解答如函数的单调性、奇偶性、值域、解析式等问题时一定要养成定义域优先的意识。例4. 已知函数，求使得的自变量的取值范围。思路分析：本题的难点在于其为分段函数，若本题的解析式唯一相信大家都会。但这也为我们找到了问题的突破口，那就是如何将分段函数转化成单一解析式的函数，方法当然是按区间进行分类讨论了。解答过程：当时，由，得，解得当时，由，得解得综上，自变量的取值范围是。解题后的思考：有关分段函数的处理方法就是通过分类讨论将其转化成普通函数。例5. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，求当时，的解析式。思路分析：本题已知的是时的解析式，要求的是时的解析式，关键在于如何将已知区间和未知区间建立联系，而偶函数正好能刻画这两个对称区间的关系，所以可通过偶函数这一条件达到求解目的。解答过程：当x（0，+） 时，有-x（-，0），注意到函数f（x） 是定义在 （-，+）上的偶函数，于是，有f（x）=f（-x）=-x-（-x）4=-x-x4 。解题后的思考：解决此类问题首先应在未知区间设自变量，其次要找准它与已知区间的关系并进行过渡，最后得出结论。例6. 设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于A. 直线对称 B. 直线对称 C. 直线对称 D. 直线对称。思路分析：本题错点为易由题意得到，套用“若函数满足，则函数关于对称”的结论，从而得到函数关于直线对称的错误结论，须知这个结论是对同一个函数而言，而本题是关于两个函数的对称问题。解答过程：由图象变换可得到两个图象间的关系，函数是由函数的图象向右平移一个单位得到，而是由函数的图象关于y轴对称得到，再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线对称。故选D。解题后的思考：若把对称问题迁移到函数中，则有结论：函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是f（a-x）=f（a+x）。但若函数满足y=f（a-x）和y=f（a+x），则它们的图象关于y轴对称。这是很容易混淆的。前者是一个函数图象自身关于直线x=a对称，后者是两个函数图象关于y轴对称。而函数图象关于直线对称，还有结论：函数y=f（b-x）与yf（ax）的图象关于直线x=（b-a）/2对称。若函数满足y=f（a-x）与yf（x-a），则f（x）的图象关于直线xa对称。例7. 设a为实数，函数，讨论函数的奇偶性。思路分析：此题在讨论函数的奇偶性的过程中，考生可能知道当时函数为非奇非偶函数，但因不知如何表述自己的判断而造成失分。因此面对一个数学结论时，要肯定它，就要给予证明，要否定它，只需举出一个反例即可。解答过程：由于，故（1）当时，函数为偶函数；（2）当时，由于，而，显然且，故函为非奇非偶函数。综上所述，可知当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数。解题后的思考：解题过程中要注意运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，以判明选项的真伪，如要说明某函数不具有奇偶性或单调性只需举出一个反例即可。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。小结：（一）主要知识：1. 函数的定义，函数的三要素及表示法；2. 函数的奇偶性的定义及性质；3. 函数单调性的定义，判断函数的单调性的方法。（二）主要方法：1. 对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；2. 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化进行简整理，但必须注意要使定义域不受影响； 3. 判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式：，；4. 讨论函数的单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；5. 判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；6. 注意分类讨论与数形结合思想的应用。 下一讲我们将对基本初等函数及函数的综合应用进行专题复习（答题时间：45分钟）一、填空题1. 设UR，Ax|x>0，Bx|x>1，则AUB_。2. 设集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集UAB，则集合U（AB）中的元素共有_个。3. 已知集合M0，1，2，Nx|x2a，aM，则集合MN_。4. 设A，B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB，已知Ax|0x2，By|y0，则AB_。5. 函数y的定义域为_。6. 如图，函数f（x）的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值等于_。7. 已知函数f（x）若f（x）2，则x_。8. 函数f：1，1，满足ff（x）>1，则这样的函数个数有_个。9. 由等式x3a1x2a2xa3（x1）3b1（x1）2b2（x1）b3定义一个映射f（a1，a2，a3）（b1，b2，b3），则f（2，1，1）_。二、解答题10. 设集合Ax|x23x20，Bx|x22（a1）x（a25）0（1）若AB2，求实数a的值；（2）若ABA，求实数a的取值范围。11. 已知函数f（x）（1）求f（1），fff（2）的值；（2）求f（3x1）的值；（3）若f（a），求a.的值。一、填空题1. 答案：x|0<x1 解析：UBx|x1，AUBx|0<x1。2. 答案：3. 解析：AB4，7，9，AB3，4，5，7，8，9，U（AB）3，5，8。3. 答案：0，2 解析：由题意知，N0，2，4，故MN0，2。4. 答案：（2，） 解析：AB0，），AB0，2，所以AB（2，）。5. 答案：4，0）（0，1 解析：x4，0）（0，16. 答案：2. 解析：由图象知f（3）1，f（）f（1）2。7. 答案：log32 解析：依题意得x1时，3x2，xlog32；当x>1时，x2，x2（舍去）故xlog32。8. 答案：1. 解析：如9. 答案：（1，0，1） 解析：由题意知x32x2x1（x1）3b1（x1）2b2（x1）b3，令x1得： b31；再令x0与x1得，解得b11，b20。二、解答题10. 解：由x23x20得x1或x2，故集合A1，2。（1）AB2，2B，代入B中的方程，得a24a30a1或a3；当a1时，Bx|x2402，2，满足条件；当a3时，Bx|x24x402，满足条件；综上，a的值为1或3。（2）对于集合B，4（a1）24（a25）8（a3）ABA，BA，当<0，即a<3时，B满足条件；当0，即a3时，B2满足条件；当>0，即a>3时，BA1，2才能满足条件，则由根与系数的关系得。矛盾.综上，a的取值范围是a3。11. 解：f（x）为分段函数，应分段求解。（1）11（1）<1，f（）23，又f（2）1，ff（2）f（1）2，fff（2）1.（2）若3x1>1，即x>，f（3x1）1；若13x11，即0x，f（3x1）（3x1）219x26x2；若3x1<1，即x<0，f（3x1）2（3x1）36x1。f（3x1）（3）f（a），a>1或1a1。当a>1时，有1，a2；当1a1时，有a21，a±。a2或±。