曲线曲面积分竞赛题整理.doc

2011年1. 设 曲面取上侧为正, 是 在 的部分, 则曲面积分(A) (B) (C) (D) 答: (B) 九、 (7分) 计算其中为从点沿圆周在第一象限部分到点的路径.解 令 则 取点 作有向直线段 其方程为 从0变到1).作有向直线段 其方程为 从0变到1). 由曲线、有向直线段和形成的闭曲线记为(沿顺时针方向), 所围成的区域记为, 则 十. (8分) 设（1）有向闭曲线是由圆锥螺线 ：，（从0变到）和有向直线段 构成， 其中， ；（2）闭曲线将其所在的圆锥面划分成两部分，是其中的有界部分. （）如果 表示一力场，求沿所做的功； （）如果 表示流体的流速，求流体通过流向上侧的流量. (单位从略） 解（）作有向直线段 其方程为 从 变到0).所求沿所做的功为 . （）所在的圆锥面方程为，曲面 上任一点处向上的一个法向量为 在面上的投影区域为, 在极坐标系下表示为: 故所求流体通过流向上侧的流量为 . 注: ()的另一解法 应用Stokes公式， 可得 . 十一. (8分) 设函数在心形线所围闭区域上具有二阶连续偏导数, 是在曲线上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), 是沿的外法向的方向导数, 取逆时针方向. () 证明: () 若 求的值. () 证 由方向导数的定义 其中, 是相对于 x轴正向的转角. 设是 L的切向量相对于x轴正向的转角, 则 或 故 () 解 应用格林公式 由对称性 2010年5、 设曲面，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（ B ）。（A）； （B）；（C）； （D）。十、求，其中曲线L是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）解：，即积分与路径无关。但因在点处与无定义，故应选积分路径：从到再到最后到的折线段。于是十一、计算，其中为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）解：对右端的第一个积分使用高斯公式其中是所围的空间区域，1是位于第1卦限的部分。对于右端的第二个积分，其中1是平面上的部分上侧，显然。2是的外侧，所以。2009年10、 设L为正向圆周在第一象限中的部分，则 。5. 设L为折线的正向一周，则（ C ）。（A）2sin2； （B）1； （C）0； （D）1。十二、计算曲面积分，其中为空间区域边界曲面的外侧。（本题8分）解：命，。作辅助曲面1为球面的外则，其中 0 << 1。则，其中（1为与1之间的空间区域）。所以2008年1、 设函数在区域上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆，则。2、 5.设S为球面：，其取外侧为，则两个曲面积分全为零的是（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。十一、计算曲线积分，其中曲线C：是从点A(1,0)到点B(1,0)的一条不经过坐标原点的光滑曲线。（本题8分）解：，。作上半圆，逆时针方向，取r充分小使C1位与曲线C的下部且二者不相交。又在x轴上分别取1到r与r到1两个线段l1与l2，于是有，其中D是由所围成的区域。从而，2007年1.设二元函数具有一阶连续偏导数，曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分值为负的是（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。七、设函数在区间内连续，且满足， 求； 计算，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧。（本题7分）解： 将原等式两边对x求导，得到，所以。命：，于是有。 因为，所以。于是可知I与积分路径无关，从而，命：，当x = 0,y = 0时，t = 1；x = 1,y = 3时，t = 12。故 。十一、计算，其中为一连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧。（本题7分）解：化为第一类曲面积分求解。设的单位法向量，则其中。故。2006年1 设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）（A）； （B）；（C）； （D）。九、计算，其中L为正向一周。（本题7分）解：因为L为，故其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。当时，；当时，；当时，；当时，故D的面积为2×1=2。从而。2005年六、设二元函数具有一阶连续偏导数，且，求。（本题7分）解：注意到：被积函数，由于此积分与路径无关，所以必有，即有，从而有，代入原积分式，得到，即 ，。将上式两端对t求导，得到： ，即 ，从而得到 。八、设S为椭球面的上半部分，点，为S在点P处的切平面，为点到平面的距离，求。（本题7分）解：设为上任意一点，则的方程为，从而知。由，有，于是 。所以 。2004年十、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）解： 旋转曲面的方程为。补充曲面其法线向量与z轴正向相反；和其法线向量与z轴正向相同。设由曲面所围空间区域为，则十一、设具有连续的偏导数，且对以任意点为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L：，恒有。证明：（本题8分）证明：记上半圆周L的直径为AB，取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有其中：为某一点。另一方面。于是有，即。命，两边取极限，得到，由的任意性知；且，即。类似。2003年1 设，为在第一卦限中的部分，则有（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。八、设函数在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t恒有，求。（本题7分）解：由曲线积分与路径无关知，所以，其中为待定函数。又；。根据题设，有，上式两边对t求导，得到，于是知，即，故。5. 设，其中：x2+y2+z21，z0则（ D ）（A）； （B）；（C）； （D）。十二、设C是取正向的圆周，f (x)是正的连续函数，证明：（本题8分）证明：由格林公式有，其中D是由 ( x 1 )2 + ( y 1 )2 = 1所围成的区域。而，即 ，所以。2001年5设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l ，则 4l 。八、计算曲面积分，其中为上半球面的上侧。（本题7分）解：记S为平面z = 0（ x2 + y2 a2 )的下侧，为与S所围的空间区域，