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    学期线性代数期末复习题.doc

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    学期线性代数期末复习题.doc

    2013-2014-2学期线性代数期末复习题第一章一、 填空题1.设是主对角元为1,2,3,的阶三角矩阵,则= . 2. = .3.对于矩阵=,当 时,可逆. . 5将阶方阵的元素全部反号,则新的矩阵的行列式是 . 6对于阶方阵,若=5,则 .7.若是2阶方阵,且=2,则= . . 9. 10. 11 12. 13.中的系数是 . 14. 设阶行列式的值为,将中的元素都变号后得到行列式为,则= . 15. , . 1 .二、计算(1) (2) ;(3) ; (4) ;(5)设 求;(6) ; ;(8)设, , 求及;(9)设, 求 ; (10);(11) ; (12) ; (13) .三、单项选择题1二阶行列式0的充分必要条件是()A; B; C且; D或.2设为三阶矩阵,则其伴随矩阵的行列式 =()A; B; C; D.3设为同阶可逆矩阵,则以下结论正确的是()A;B;C;D.4设可逆,则下列说法错误的是().A存在使;B;C相似于对角阵;D的个列向量线性无关.5矩阵的逆矩阵为().A; B; C; D.6设是4阶矩阵,则=().A; B; C; D.7设2阶方阵可逆,且,则().A; B; C; D.8设,则向量组的秩是().A0; B1; C2; D3.四、若为阶方阵,证明及可逆,并求及 .五、 求下列矩阵的逆矩阵: (1); (2); (3) .六、设为n阶方阵,满足.(1)证明为可逆矩阵; (2)若,求矩阵.七、解矩阵方程。(1); (2);八、设,求.九、计算行列式.(1); (2) ; (3); (4).第二章一、填空题1.的行最简形矩阵为 ;2.在秩为的矩阵中,所有阶子式 ;3齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是 。4. 。 5线性方程组有解的充要条件是 ; 6已知齐次线性方程组有唯一解,则的秩= ;7.设为阶方阵,且与阶单位矩阵等价,则方程组的解的个数为 ;8.已知,均为阶方阵,=1,=2,那么的非零解的个数等于 .二.求下列矩阵的秩.1.; 2.三、单项选择题1设为矩阵,且非齐次线性方程组有唯一解,则必有().A; B; C; D.2若方程组存在基础解系,则等于().A2; B3; C4; D5.3线性方程组 有解的充分必要条件是=().A-1; B-; C; D1;4设为矩阵,则非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是().A;B只有零解;C向量b可由A的列向量组线性表出;D的列向量组线性无关,而增广矩阵的列向量组线性相关.四、求解下列线性方程组. 1.; 2.五、讨论取何值时,下列线性方程组无解?有解?并在有解时求其通解.第三章一、填空题1.已知为3维向量,且线性无关,则向量组的秩为_; 2.设是维向量组,则向量组线性 关;3.若向量组线性无关,则向量组为线性 关; 4若向量组的秩为,则其中任意个向量线性 关;5. ,则当 时线性相关;6. ;7.的一个极大无关组是 ; 8.若向量组可由向量组线性表示,设向量组的秩为,向量组的秩为,则 .9设=(1,2,4),=(-1,-2,y)且与线性相关,则y=_;10设=(1,1,1),=(1,1,0),=(1,0,0),=(1,2,-3),则秩(,)=_。二、单项选择题.1秩是n阶方阵,且的第一行可由其余n-1个行向量线性表示,则下列结论中错误的是( ).An-1; B有一个列向量可由其余列向量线性表示;C|=0;D的阶余子式全为零.2设可由=(1,0,0);=(0,0,1)线性表示,则下列向量中只能是( ).A(2,1,1); B(-3,0,2);C(1,1,0); D(0,-1,0).3设线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).A; B;C; D .4设齐次线性方程组的基础解系含有一个解向量,当是3阶方阵时,( ).A=0;B=1; C=2;D=3;5设与等价,则的秩为( ).A0; B1; C2; D3;6下列矩阵中是正交矩阵的是().A; B; C; D.7 若是非齐次方程组的解,则().A是的解; B是的解;C是的解; D是的解.8设是非齐次方程组的解,是对应的齐次方程组的解,则必有一个解是().A; B; C; D.三、设向量组求其一个最大线性无关组.四、讨论取何值时,下列线性方程组无解?有解?并在有解时求其通解.五、若向量线性无关,问的线性相关性,并证明之.六、设是齐次方程组Ax=0的基础解系,证明,也是的基础解系.第四章一、填空题1.已知为正交阵的两个相异的列向量,则内积 ;2.若是阶正交阵,则|T|= ; 3. 若A=相似,则=_;4设矩阵A=与B=相似,则=_; ;6.设和是3阶实对称矩阵的两个不同的特征值,依次是的对应于特征值,的特征向量,则实数 ;7.已知、均为阶方阵,与相似,且方程组仅有一个解,则= ;8.若阶方阵与相似,且则= ; 9.设线性相关,则=_;10设矩阵,则与其相似的对角矩阵是_.;11设是可逆阵的一个特征值,则必有一个特征值是_;二、单项选择题1已知相似于,则=( ).A-2;B-1; C0;D2;2设是可逆阵的一个特征值,则必有一个特征值是( ).A; B; C;D.3设矩阵A=,则为().A对称矩阵; B反对称矩阵; C正交矩阵; D不可逆矩阵.4下列矩阵中不是正交矩阵的是().A; B;C; D.5设为n阶方阵,则().A的特征值一定都是实数; B必有个线性无关的特征向量;C可能有个线性无关的特征向量; D最多有个互不相同的特征值.6.在中,与向量都正交的单位向量是().A(-1,0,1);B(-1,0,1);C(1,0,-1);D(1,0,1).7若相似于,则=().A-1; B0; C1; D2;三、求下列矩阵的特征值与特征向量。(1) (2).四、已知3阶矩阵的特征值为1, 2, 3, 求的特征值.五、设都是阶矩阵, 且可逆, 证明与相似. 六、 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵.(1); (2)。七、设矩阵与相似, 求并求一个正交矩阵,使.八、设3阶方阵的特征值为,对应的特征向量依次为,求.九、设3阶对称矩阵的特征值 ,特征值6对应的特征向量为求十、用矩阵记号表示下列二次型. (1) (2) 十一、求一个正交变换将下列二次型化成标准形:十二、求矩阵=的所有特征值,指出A能否与对角矩阵相似,并说明理由.十三、设矩阵.(1)求矩阵的特征值和特征向量;(2)问A能否对角化?若能,求可逆矩阵及对角矩阵,使.十四、设的特征值是,(1)求;(2)是否相似于对角阵,为什么?

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