分数、百分数应用题初步.doc

第十一讲 分数、百分数应用题初步教学说明：在课本上此章节应为小学六年级上半学期内容，也是整个小学的重难点，但各各学校的进度不一，有部分学校已经讲解过，在我们奥数的学习进度中也必须提前有所了解，所以教师在讲解时侧重于基础知识的理解应用提高，同时兼顾本班孩子的进度，进行适当补充，为我们以后的工程问题、经济浓度等问题打好基础！我们将“列方程解应用题”放在此讲之前，意在让学生多一种解决分数、百分数应用题的方法，增加他们的信心，但主体仍以算术方法为主，碰到个别例题教师可讲述方程思路.古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一再过了五年，他幸福地得到了一个儿子可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？ 怎么样？你能根据大数学家丢番图的叙述找到答案么？呵呵！学习了今天的知识，你就可以在课后解决这个“数学趣题”了！好了，让我们开始今天的学习吧！内容概述在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：（1）如何求一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到例如：5的24%是多少？ 解答：5×24%=1.2 . （2）如何求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到例如：是的几分之几？ 解答： .（3）已知一个数的几分之几（或百分之几），如何求这个数？已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几例如： 一个数的等于18，那么这个数等于多少？ 解答：.分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量也称为：单位“1”，例如a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误而百分数应用题中所涉及的百分数，只是分母是100的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 类型：单位“1”不变【例1】 （1）（首师附入学测试题）（难度系数：）小强看一本书，每天看15页，4天后加快进度，又看了全书的，还剩下30页，这本故事书有多少页？（2）（数学趣题）（难度系数：）古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一再过了五年，他幸福地得到了一个儿子可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？分析：在讲解此题之前可先给学生巩固一下概念，可参看附加1.（1）教师可先讲解下题：小强看一本故事书，每天看20页，5天后还剩下全书的没看，这本故事书有多少页？分析：（页）. 回到原题：4天看了15×4=60（页），而60+30=90页占全书的：1-=，这本故事书有：90÷=150（页）.（2）活的岁数：(岁) ，结婚年龄：（岁）.【例2】 （奥数网习题库）（难度系数：）好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的20%，第二天卖出了剩下的，第二天比第一天多卖出40个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？分析：好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作“1”，（个）.【例3】 （奥数网习题库）（难度系数：）奥数网派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的正式参赛的女选手有多少名？分析：抓住男选手人数不变求解把总人数视为“1”， 男选手人数是60×(1-)=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总数的1-，正式参赛选手总数是45÷(1-)=55(人)，正式参赛的女选手人数是10人. 【例4】 （小数报数学竞赛初赛）（难度系数：）甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的，乙买一件衬衫花去了人民币16元这样两人身上所剩的钱正好一样多问甲、乙两人原先各带了多少钱? 分析：把甲所带的钱视为单位“1”，那么甲原来带了（元），乙原来带了41元【例5】 （北大附中入学测试题）（难度系数：）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几?分析：不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，第二堆黑子是全部棋子的，同时，又是黑子的1-所以黑子占全部棋子的÷(1-)=，白子占全部棋子的1-=.【例6】 （奥数网习题库）（难度系数：）六年级上学年男、女生共有300人，这一学年男生增加4，女生增加，共增加了13人。这一学年六年级男、女生各有多少人?分析：此题中由于男、女生增加的分率不同，所以我们用假设法来解答。假设这一学年六年级男、女生人数都增加4，那么增加的人数应为300×4=12(人)，这与实际增加的13人相差13-12=1(人)。相差1人的原因是把女生增加的看成4计算了，即少算了原女生人数的- 4=1，也就是说这1人正好相当于上学年女生人数的1，可求出上学年女生的人数：(13-300×4)÷(-4)=100(人)，男生人数：200人，这学年女生的人数：100×(1+)=105(人)，这学年男生的人数：200×(1+4)=208(人).【例7】 （奥数网习题库）（难度系数：）如图（1），线段MN将长方形纸分成面积相等的两部分。沿MN将这张长方形纸对折后得到图2，将图2沿对称轴对折，得到图3，已知图3所覆盖的面积占长方形纸面积的，阴影部分面积为6平方厘米.长方形的面积是多少？ 分析：如图3所示，阴影部分是2层，空白部分是4层，如果将阴影部分缩小一半，即变为3平方厘米，那么阴影部分也变成4层，此时覆盖座面的面积占长方形纸片面积的，即缩小的3平方厘米相当于长方形纸片面积的（-），所以长方形纸片面积为60平方厘米.【例8】 （迎春杯决赛）（难度系数：）海淀图书城内九章数学书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价90收款某学校到书店购买甲、乙两种书其中乙种书的册数是甲种书册数的，只有甲种书得到了90的优惠，这时，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付总钱数的2倍已知乙种书每本定价是15元，那么优惠前甲种书每本原价是多少元？分析：设甲种书每本原价x元，购买甲种书a本依题意得：aX·90=2·a·1.5，即9aX=18a，故x=2【例9】 （小学数学奥林匹克初赛）（难度系数：）把100个人分成四队，一队人数是二队人数的l倍，一队人数是三队人数的1倍，那么四队有多少个人?分析：设一队的人数是“1”那么二队人数是：1÷1=，三队的人数是：1÷1=，1+=，因此，一、二、三队之和是：一队人数×，因为人数是整数，一队人数一定是20的整数倍，而三个队的人数之和是51×(某一整数)， 因为这是100以内的数，这个整数只能是1所以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20，15，16人而四队有：10051=49(人)类型：单位“1”变化【例10】 (数学奥林匹克决赛) (难度系数：) 某校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，那么男生比女生少多少人?分析: 在讲解词部分之前教师可先讲解下例，让学生体会变化的单位“1”：（迎春杯决赛）（难度系数：）路铁水凝成铁块 ，其体积缩小了，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几?分析：设铁水的体积为1，则铁块为1-=现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水的体积就为l÷=，故体积增加了：.回到原题：女生的比男生的少20人；÷=，20÷=30，所以女生比男生的少30人男生人数是(465+30)÷(1+)=225(人)女生人数是465225=240(人)男生比女生少240225=15(人)【例11】 （奥数网习题库）（难度系数：）王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的，李先生的年龄是另外三人年龄和的，赵先生的年龄是其他三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗?分析：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少。而题目中出现了三个“另外三人”所包含的对象并不同，即三个单位“1”是不同的，这就是我们所说的单位 “l”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“1”。题中四个人的年龄总和是不变的，如果我们以四个人的年龄总和为单位“1”，则单位“1”就统一了。那么王先生的年龄就是四人年龄和的，李先生的年龄就是四人年龄和的，赵先生的年龄就是四人年龄和的。(这些过程就是所谓的转化单位“1”。)则杨先生的年龄就是四人年龄和的。由此便可求出四人的年龄和：=120（岁），王先生的年龄为：120×=40(岁).在解答分数、百分数应用题时，经常会出现单位“1”不统一的情况，这时，就要采取转化的方法，先统一单位“1”，而且要保证量率大小不变，再按照量率对应关系来解答.【例12】 （奥数网习题库）（难度系数：）A有若干本书，B借走一半加一本，剩下的书，C借走一半加两本，再剩下的书，D借走一半加3本，最后A还有2本书，问A原有多少本书分析：教师克先讲解下题：（华杯赛口试）（难度系数：）一根木杆，第一次截去了全长的，第二次截去所剩木杆的，第三次截去所剩木杆的，第四次截去所剩木杆的，这时量得所剩木杆长为6厘米问：木杆原来的长是多少厘米?分析：法1：设木杆原长为1，第一次截后所剩为原长的；第二次截后所剩为×(1一)=；第三次截后所剩为×(1一)=；第四次截后所剩为×(1一)=，即原长的等于6厘米，由部分求整体得：木杆原长=6÷=6×5=30(厘米)法2: 倒推法！注意单位“1”的不断变化.此法方便学生解答出类似例14的题目.回到原题：用倒推法解 C借走后还剩下（本），B借走后剩下（本），A原有书为. 附加题目 【附1】（奥数网习题库）（难度系数：）六年级男生有50人，女生有40人，（1）女生人数是男生人数的几分之几？（2）男生人数比女生人数多百分之几？（3）女生人数比男生人数少百分之几？（4）女生比男生少的人数是全班人数的百分之几？分析：此题四个问题都是求一个数是另一个数的百分之几，解答的关键是找准单位“1”，要注意帮助学生找一些典型字眼如：“的”、“占”、“是”、“比”等.（1） 男生人数为单位“1”，40÷50=4/5；（2） 女生人数为单位“1”，（50-40）÷40=25%；（3） 男生人数为单位“1”，（50-40）÷50=20%；（4） 全班人数为单位“1”，（50-40）÷（50+40）11.1% .【巩固】一个机关精简机构后有工作人员120人，比原来工作人员少40人，精简了百分之几？分析：“精简了百分之几”是在说“现在比原来少的人数是原来工作人员的百分之几” 单位“1”就是“原来工作人数”，40÷（120+40）=25%.【附2】（迎春杯刊赛）（难度系数：）村里种了新瓜，男女老少品尝它小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？分析：把各组人数都视为“1”，那么有：50÷(1+)=24（人）.【附3】（小学数学奥林匹克初赛）（难度系数：）足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门票降价多少元？ 分析：设原来收入是1现在收入是1+，那么原收入有：，因此每张门票降价：15×(1-)=3(元)【附4】（迎春杯刊赛）（难度系数：）小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少；如果小刚给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？分析：小莉给小刚24个时，小莉是小刚的 (=1一)，即两人球数和的；小刚给小莉24个时，小莉是两人球数和的(=)，因此24+24是两人球数和的一=从而，和是(24+24) ÷=132(个)【附5】（奥数网习题库）（难度系数：）菜园里西红柿获得丰收，收下全部的时，装满3筐还多24千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？分析：法1：1-=是6筐，所以总筐数就是： （筐），收下全部的就是（筐），筐比3筐多筐，每筐是：24÷=40（千克），共收西红柿40×=384（千克）.法2：（千克）.【附6】（祖冲之杯数学邀请赛）（难度系数：）某班了次集会，请假人数是出席人数的，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么，这个班共有多少人？分析：因为总人数未变，以总人数作为”1”原来请假人数占总人数的，现在请假人数占总人数的，这个班共有：l÷(-)=50(人)【附7】（迎春杯决赛）（难度系数：）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的，第二次运了50块，这时已运来的恰好是没运来的.问还有多少块蜂窝煤没有运来？分析：运完第一次后，还剩下没运，再运来50块后，已远来的恰好是没运来的，也就是说没运来的占全部的，所以，第二次运来的50块占全部的：，全部蜂窝煤有：（块），没运来的有：（块）. 练习十一1（1）甲、乙、丙三人共储蓄387元，甲比乙多存13元，丙是乙的75%，甲、乙、丙三人各存了多少元？（2）甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：甲应收回多少钱?(以角为单位)分析：（1）注意找关键字眼，确定单位“1”，把乙当作单位“1”，则（387-13）÷（1+1+75%）=136元，甲存了149元，丙存了102元.（2）每人应付个面包的钱，丙拿出的40角就是个面包的钱，所以一个面包的价格应为：（角），甲多付的钱为：（角），所以甲应收回35角.2小强看一本故事书，第一天看了全书的还多21页，第二天看了全书的少6页，还剩172页，这本故事书一共有多少页？分析：如右图，3六年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛剩下的男生人数是女生的2倍已知六年级共有学生156人，其中男生有多少人?分析： 把男生视为单位“1”，未参加比赛的女生是：，156-12=144（人）是男生和剩下的女生，所以男生有（人）.4学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的问后来又有几名女生来看书?分析：把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答.男生人数是，后来阅览室的总人数是，后来有38-36=2名女生进来.5（1）某校男生比女生多，女生比男生少几分之几？（2）某工厂二月份比元月份增产10，三月份比二月份减产10问三月份比元月份增产了还是减产了？分析：（1）男生比女生多，则男生有1+=，女生比男生少÷=.（2）一定会有同学认为三月份比元月份不增不减，这对吗？工厂二月份比元月份增产10，我们就要将元月份产量看作1，将元月份产量看作1，则二月份产量为：，三月比二月减产10，则三月份产量为： ，所以三月份比元月份减产了 .6（07年希望杯培训试题）某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的，这个学校有多少人？分析：（人）.7小新有一盒巧克力饼干，他第一天吃掉了全部的的七分之一；第二天吃了余下的六分之一；第三天吃了余下的五分之一；第四天吃了余下的四分之一；第五天吃了余下的三分之一；第六天吃了余下的二分之一；这时还剩下12块巧克力饼干，那么共有多少块巧克力饼干？分析：巧克力饼干总数当作1那么：(1一)×(1一)×(1一)×(1一)×(1一)×(1一)=，最后剩下的12块是总数的，那么共有84块巧克力饼干.8 有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆白子都占28%小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子现在，在所有的棋子中，白子将占32那么，共有棋子 堆分析：设有x堆棋子，每堆有a个棋子根据拿走黑子白子总数不变列方程得ax·28%=(ax一a)·32%，化简得28ax=32a(x一)，两边同除以4a，得7x=8(x一)，去括号，得7x=8x一4，即8x一7x=4，所以x=4课外知识你让工人为你工作七天，回报是一根金条。这个金条平分成相连的7段，你必须在每天结束的时候给他们一段金条。如果只许你两次把金条弄断，你如果给你的工人付费？答案：分成1、2、4份.