多元函数微分学习题.doc
第八章多元函数微分学习题§多元函数的一般概念设圆锥的高为，斜高为，试将圆锥的体积表示为的函数【答案】，（）已知三角形的三条边长为，试将三角形的三个内角表示为的函数【解答】设三内角所对的边长依次为，由三角学中的余弦定理，知由此可知，同理，三者的定义域均为求下列函数的定义域：（）；【解】要使函数有意义，须使对数、根式、分式都有意义方可，即，三式同时成立表示直线下侧的点构成的区域；表示圆内部及圆周上的点所成区域；表示圆外的点（不包括圆周）的区域，三个区域的公共区域即为定义域，即，（）；【答案】且（或）（）；【答案】（）；【答案】（），；【答案】求下列函数的极限：（）； 【解】令，则（）；【解】令，则（）；【解】§偏 微 商求下列函数的偏微商：（）；【解】（）；【解】，（）；【解】，（）【解】，（）；【解】，（）；【解】，设，求【解】设，求【解】，由对称性，知,故，求曲线在点处的切线与x轴的正向之间所成的夹角【解】易知，点在已知曲线上由偏导数的几何意义，知所求夹角满足，故求曲线在点处的切线与y轴的正向之间所成的夹角【解】点在已知曲线上由偏导数的几何意义，知所求夹角满足，所以求下列函数的二阶偏微商：（）；【解】，（）；【解】，（注：），（）；【解】，（）；【解】，由的对称性，知，设，求、【解】，；，设，验证：（）；【解】，由对称性，知，故（）；【解】，由对称性，知，所以设，验证【解】对两边取对数，得两边对x求导，得，（）上式再对x求导，得，（）两边对t求导，有；（）比较（）与（），得§全微分求下列函数的全微分：（）；【解】（）；【解】，（）；【解】使用一阶微分形式的不变性（）；【解】，（）；【解】（）；【解】（）；【解】，（）；【解】写出二元函数当时的全微分【解】求函数当时的全增量和全微分【解】函数当时的全增量；全微分求的近似值（已知）【解】令，则由取，代入，得当圆柱体的半径由200毫米增加到200.5毫米，高由1000毫米减少到995毫米时，求体积变化的近似值 【解】圆柱体的体积公式为，将代入，得体积变化的近似值为，即圆柱体体积基本上没有变化（相对变化不足十万分之二）在物理学中，用公式计算重力加速度由于测量摆长和周期均有微小误差，因此必然给算出的重力加速度带来误差设已知厘米，厘米，秒，秒，求重力加速度的绝对误差与相对误差【解】，当时，所以此时g的绝对误差（限）为（注：可以使用公式计算）相对误差（限）为§复合函数的偏微商 求下列复合函数的全微商或偏微商：（），其中，求；【解】 （），其中，求，；【解】；（），其中，求，；【解】；（）其中，求，；【解】；（）其中，求，,； 【解】，由变量的对称性，知,；（），其中，求【解】注：较简单的解法是直接把代入原来函数直接求导求由下列方程所确定的x的函数y的微商：（）；【解】令，则有故（）；【解】，则，（）【解】，求有下列方程所确定的x，y的函数的偏微商，：（）；【解】令，则有，故 ，（）；【解】，（）；【解】，则，（）【解】，求由方程所确定的xy的函数z的全微分【解】令，则，故【解】利用一阶微分形式的不变性，对方程两边求微分，有，解得求出当时，由方程所确定的函数的近似值【解】由于，而令，则有，把代入方程，解得，此时，所以设，验证 【解】令，则有从而， ，故设，验证【解】令，则， ，设，而，验证【解】，所以得证§几何方面的应用求下列各曲线在指定点处的切线方程与法平面方程：（）【解】，在处，即该点的坐标为，而切线的方向向量为，所以该点的切线方程为，法平面方程是，即（）【解】，对应的点的坐标为，该点的切线方向为，所以，所求切线方程为，法平面方程为即（）【解】，时，对应点，切线方向，故所求切线方程，法平面方程为求下列各曲面在指定点处的切平面方程与法线方程：（）在点处【解】令，则有， ，故所求的切平面方程为，即，法线方程为（）在点处【解】令，则，所以切平面为，即；法线方程是（）在点处【解】，切平面方程，即；法线方程为§方向微商和梯度求在点处沿向量的方向微商，并进一步求：（） 在什么方向上方向微商有最大值；（） 在什么方向上方向微商有最小值；（） 在什么方向上方向微商是零；（） u的梯度【解】，故沿方向的方向微商为；（）显然，当时，即在方向上，方向微商有最大值；（）当时，即在方向上，方向微商有最小值； （）当或时，方向微商为零；（）求在点处的梯度以及沿的方向微商【解】在点处，由对称性可知故；又，所以函数在点处沿的方向微商为求函数在及处的梯度及其大小【解】，在点处，此时的梯度为，其大小是；在点处，此时的梯度为，其大小是证明：（），其中是常数；【证】（）；【证】同上可证略（）【证】略设函数，其中，求u的梯度；并指出在空间的哪些点上等式成立【解】，故而，所以在空间满足的点，即球面的任意点处，§多元函数的极值求下列函数的极大值与极小值：（）；【解】由，解得函数的驻点为；又，驻点是极值点，且因，故是极大值点，极大值为（）；【解】由，解得驻点坐标为，在点，故点不是极值点，所以点是函数的极大值点，极大值为（）；【解】由，解得唯一驻点为，在驻点， 由极值的充分条件，知该驻点是极值点，且是极小值点，极小值为（）【解】，解得驻点坐标为，当时，因取附近的点，而在点，却有（注：），故有不是极值点；以下只讨论的情况：在点，故不是极值点，由对称性，知也不是极值点；在点，故是函数的极值点，且极值为，当时，是极小值，时，是极大值求下列函数的条件极值：（），附加条件；【解】用直接方法把代入已知函数，得，这是一元函数令，求得驻点当时，当时，所求极值为极大值，极大值为（），附加条件【解】由，知，代入函数得一元函数，显然有极小值令，解得，所以，所求的极小值为要制造一个无盖的圆柱形容器，已规定容积为，希望表面积最小（即消耗材料最省），问该容器的高度和底半径应是多少？【解】问题是要求在条件下的极值由，得，代入，得令，解得，从而，故当时，所耗材料最少要制造一个无盖的长方体容器，已规定表面积为，希望容积最大，问长、宽、高应是多少？【解】设长、宽、高分别为x、y、z，则问题是求在条件下的极值问题作辅助函数，由，解得，代入条件得，故，即当长、宽均为，而高为时，该容器有最大体积，最大体积为
