数学分析第十二章反常积分自测题解答.doc

数学分析第十二章反常积分自测题解答一、判断题 (每小题2分,共12分)( )1. 若无穷积分收敛, 则无穷积分也收敛.( × )2. .( )3. 无穷积分发散.( × )4. 设是非负函数的瑕点,且,则瑕积分收敛.( )5在收敛的条件下，可能发散. ( × )6. 若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛.注：2. 当时，0是被积函数的瑕点，且瑕积分发散.4. 当是的瑕点时,判别瑕积分的敛散性要考虑极限.二、选择题 (每小题2分, 共10分).下列结论或运算正确的是（ C ）.A. B. 由于是奇函数,故.C. D. 由于是偶函数,故.注：无穷积分 ，均发散；而，.收敛是与都收敛的( A ).A.充要条件B.必要条件C.充分条件D.无关条件.下列广义积分中发散的是( D ).A. B. C. D. 4. ( D ).A. B. C. D. 不存在5. ( B ).A. B. C. D. 不存在注:.三、填空题 (每小题2分,共10分)1. 是函数的瑕点在点的任意邻域无界.2. 无穷积分发散,与之一发散. 3. 瑕积分 当 满足时收敛.4. 当时, 无穷积分发散.5. 无穷积分 当 满足时条件收敛, 当 满足时绝对收敛.四、求下列反常积分(每小题5分,共30分)1. .解: 由定义 , 故 .2. .解: .3 .解: ,故.4.解: 是被积函数的瑕点,分别考虑瑕积分与,有,故.5. .解: 是被积函数的瑕点,有 .6. .解: 是被积函数的瑕点,有.五、判断下列反常积分的敛散性(每小题5分,共30分)1. 解: 是被积函数的瑕点. 由 ,有,故瑕积分收敛.2.解: 是被积函数的瑕点.由于不存在，故瑕积分发散,从而瑕积分发散.3. 解: 由,有,故无穷积分收敛.注:由于,故不是的瑕点. 补充定义,则被积函数在区间连续.4. .解:是被积函数的瑕点, 分别考虑瑕积分与无穷积分, 由 , 有, , 故瑕积分收敛；由, 有, , 故无穷积分收敛. 综上, 反常积分收敛.5. . 解: 是被积函数()的瑕点，分别考虑瑕积分与无穷积分.（）由 ,即有,于是，当时,瑕积分发散；当时,瑕积分收敛.（）由, 有,于是，无穷积分收敛.综上, 反常积分当时收敛， 当时发散6. .解: 是被积函数()的瑕点，分别考虑瑕积分与无穷积分.（）由 ,即有,于是，瑕积分当时发散；当时收敛.（）, 于是，无穷积分当时发散；当时收敛.综上, 反常积分发散六、证明:反常积分 （1）当时条件收敛(注:此时0不是被积函数的瑕点)；（2）当时绝对收敛； （3）当时发散. (8分)证：(1) 当时, 由,知不是被积函数的瑕点，所以为无穷积分首先，证明无穷积分收敛取，有）在区间单调减少且；），即有界由狄利克雷判别法，无穷积分收敛，从而无穷积分收敛其次，证明无穷积分发散已知，有，从而无穷积分收敛，但无穷积分发散，故无穷积分发散，从而无穷积分发散于是，当时，无穷积分条件收敛（）（） 当时, 由,知是被积函数的瑕点,所以要分别考虑无穷积分与瑕积分.由于, 已知无穷积分收敛(),故当时,无穷积分绝对收敛. 在区间，被积函数，且有,故当,即时,瑕积分绝对收敛；当,即时,瑕积分发散于是，反常积分当时绝对收敛，当时发散.