数列的综合问题.doc

第6讲 数列的综合问题 知 识 梳理 1.等差数列的补充性质 若有最大值，可由不等式组来确定； 若有最小值，可由不等式组来确定. 2.若干个数成等差、等比数列的设法 三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：.三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：.3.用函数的观点理解等差、等比数列等差数列中，当时，是递增数列，是的一次函数；当时，是常数列，是的常数函数；当时，是递减数列，是的一次函数.等比数列中，当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列.4.解答数列综合问题的注意事项 认真审题、展开联想、沟通联系； 将实际应用问题转化为数学问题； 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来. 重 难 点 突 破 1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题. 热 点 考 点 题 型 探 析考点 数列的综合应用题型1 等差、等比数列的综合应用【例1】已知等差数列与等比数列中，求的通项.【解题思路】由等比数列知：成等比，从而找出的关系.【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，是等比数列，成等比，则，解得 或.当时， ， ；当时， . 【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键.【例2】已知为数列的前项和，.设数列中，求证：是等比数列；设数列中，求证：是等差数列；求数列的通项公式及前项和.【解题思路】由于和中的项与中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点.【解析】，两式相减，得， 又，由，得 ，是等比数列，.由知，且是等差数列，. ，且，当时，【名师指引】等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；将“”化归为是解题的关键.题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用 【例3】（2008韶关模拟）设函数的定义域为，当时，且对任意的实数，有求，判断并证明函数的单调性；数列满足,且求通项公式；当时，不等式对不小于的正整数恒成立，求的取值范围. 【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值.【解析】，在上减函数（解法略） 由单调性，故等差数列 是递增数列当时， 即而，故的取值范围是【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.题型3 数列的应用问题【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.【解析】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程:.由于,当时,有最小值.答: 将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量的取值范围.【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?【解题思路】建立上层到底层砖块数与的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为,则,易得,即因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则 (块)答:共用2046块.【名师指引】建立与的关系式后，转化为求数列通项的问题.【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2被非绿化. 设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示；求数列的第项；至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:)【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.【解析】设现有非绿化面积为,经过年后非绿化面积为.于是.依题意,是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余的面积,另一部分是新绿化的面积,于是.数列是公比为,首项的等比数列. .答:至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60.【名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题.【新题导练】1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数.【解析】设后三个数分别为，则前三个数成等比数列，第一个数为，解得，当时，；当时，.原来的四个数分别为或.2.已知为数列的前项和，点在直线上若数列成等比，求常数的值； 求数列的通项公式；数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 【解析】由题意知，得，； ，由知：； 设存在，使成等差数列， 即 ， （），因为，为偶数，为奇数，这与（）式产生矛盾所以这样的三项不存在3.(2009金山中学)数列首项，前项和与之间满足 （1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式 （3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值。【解析】（1）因为时，得 由题意 又 是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）有 时，. 又 （3）设则 在上递增 故使恒成立只需 又 又 ，所以，的最大值是.4.夏季高山上的温度从脚起，每升高，降低，已知山顶处的温度是，山脚处的温度为，问此山相对于山脚处的高度是多少米. 【解析】每升高米温度降低，该处温度的变化是一个等差数列问题.山底温度为首项,山顶温度为末项,所以，解之可得，此山的高度为.5.由原点向三次曲线引切线,切于不同于点的点，再由引此曲线的切线，切于不同于的点，如此继续地作下去,得到点列，试回答下列问题： 求； (2)求与的关系式； (3)若，求证:当为正偶数时, ；当为正奇数时, .【解析】由 得y=3x26axb.过曲线上点的切线的方程是：由它过原点，有 过曲线上点的切线ln+1的方程是： ,由过曲线上点，有，以除上式，得以除之，得 (3)方法1 由(2)得故数列x na是以x 1a=为首项,公比为的等比数列, ，当为正偶数时, 当为正奇数时, 方法2 =以下同解法1. 抢 分 频 道 基础巩固训练1.首项为的数列既是等差数列，又是等比数列，则这个的前项和为（ ）A. B. C. D.【解析】D.由题意，得数列是非零常数列，2.等差数列及等比数列中，则当时有A. B. C. D. 【解析】D.特殊法，及为非零常数列时，；取，时，3. 已知成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则 .【解析】2. 特殊法，取，4.为等差数列的前项和，问数列的前几项和最大？公差不为零的等差数列中，成等比数列，求数列的前项和. 【解析】方法1：设，由，得，即 ，当时，有最大值为 方法2：由，得，是等差数列，.由，是等差数列，当时，有最大值为设，成等比数列，5.已知，数列的前项和，若数列的每一项总小于它后面的项，求的取值范围.【解析】当时，当时，由题意，得，即 当时，；当时，综上，的取值范围6.等差数列中，其公差；数列是等比数列，其公比若，试比较与的大小，说明理由；若，试比较与的大小，说明理由.【解析】方法1：的图象大致如下图所示：yxO12图2n+1Oxy1n+1图 由图可知，； 由图可知，.方法2：（用作差比较法，略）.综合拔高训练7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200，以后每年的增长率为前一年的一半.饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？【解析】设鱼原来的产量为，200 ， 由可知，而鱼每年都损失预计产量的10，即实际产量只有原来的.设底年鱼的总量开始减少，则，即，解得，经过5年后，鱼的总量开始减少. 8.数列的前项和为，点在直线若数列成等比数列，求常数的值；求数列的通项公式； 数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由【解析】由题意知， 得， ，由知： 设存在S，P，r, 即 （） 因为s、p、r为偶数1+2，（）式产生矛盾所以这样的三项不存在9.(2001全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.设年内（本年度为第一年）总收入为万元，旅游业总收入为万元，写出表达式至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【解析】3.第一年投入为800万元，第二年投入为万元，第年的投入为万元.所以，年内的总投入为：；第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为万元，第年旅游业收入为万元.所以，年内的旅游业总收入为 设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，即化简得，设，代入上式得，解此不等式，得，或（舍去）即，由此得答：至少经过5年旅游业的总收入能超过总投入.10.（2009执信中学）设函数.若方程的根为和,且. (1)求函数的解析式； (2)已知各项均不为零的数列满足: (为该数列前项和),求该数列的通项. 【解析】 设,又 ， 由已知得两式相减得, 或.当，若，则，这与矛盾.由,或.若，则；若，则在时单调递减.，在时成立.