微分中值定理答案.docx

第二章第四节微分中值定理基本内容1. 极值：在有定义，若存在和的一个邻域，使对任意，有或，则称是在中的一个极大值点（或极小值点），称为相应的极大值（或极小值）。极大值点或极小值统称为极值点，极大值或极小值统称为极值。常值函数在任意点处既取到极大值也取到极小值。2.费马定理：在有定义，若在处取得极值，且在该处可导，则必有。3.罗尔定理：函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则至少存在一点，使得。4.拉格朗日定理：设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得，或。函数在内可导，且，则在上恒为常数。，在内可导，且，则与在内至多相差一个常数，即。5.柯西定理：函数和都在闭区间上连续，在开区间内可导，且对任意的有，则至少存在一点，使得。6. 洛必达法则习题选解1.下列函数在给定的区间上是否满足罗尔定理中的条件?如果满足,求出定理中的；如果不满足，是否一定不存在?（1） 函数在上连续，在上可导，。所以，满足罗尔定理中的条件。（2），函数在时断开，不满足罗尔定理中的条件。当时，时，2.证明对于在上用拉格朗日定理，则。证明：，。3. 为实数，证明：方程的根不超过三个。证明：设方程的根至少有四个。令。于是有，使得，使得，使得，所以，方程的根不超过三个。4. 在闭区间上连续，在开区间内可导，证明：存在唯一的，使得。证明：假设。令函数单调递增；，存在唯一一点，使得。5. 在闭区间上有三阶导数，。证明有，使得。解：有，使得。有，使得。有，使得。6. 在上可导，单调递减，证明若，则有。证明：当时，结论显然成立。当时，有当时，有，7. 在上可导，单调递增，。证明函数在单调递增。证明：单调递增，当时，。令单调递增，所以，当时，有在单调递增。8.证明下列恒等式和不等式（1）解：为常数。，所以，（2）解：为常数。，所以，（3）解：令，在上用拉格朗日定理，得到（4）解：令，当是，有单调递增。（5）解：令，在上用拉格朗日定理，得到，使得9. ，在闭区间上连续，在开区间内可导，证明存在，使得证明：令，则在闭区间上连续，在开区间内可导。利用柯西定理，得到存在，使得10.求极限（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：令（13）解：令11.确定常数，使极限存在并求出极限。解：要使极限存在，必有且，