刚体的定轴转动精.ppt
刚体的定轴转动第1页，本讲稿共27页第五章 刚体的定轴转动5.1 刚体的运动刚体的运动 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律5.7 进动进动 第2页，本讲稿共27页5.1 刚体的运动 刚体（刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化，）：特殊的质点系，形状和体积不变化，理想化的模型。理想化的模型。平动和转动，可以描平动和转动，可以描述所有质元（质点）述所有质元（质点）的运动。的运动。平动平动（translation）时，）时，刚体上所有点运动刚体上所有点运动都相同。都相同。刚体质点间的相对运刚体质点间的相对运动只能是绕某一轴转动只能是绕某一轴转动（动（rotation）的结果。）的结果。o ooo第3页，本讲稿共27页P点线速度点线速度P点线加速度点线加速度旋转加速度向轴加速度瞬时轴vrrP 基点O刚体刚体绕O的转动其转轴是可以改变的，反映顺时轴的方向及转动快慢，引入角速度矢量 和角加速度矢量第4页，本讲稿共27页定轴转动（rotation about affixed axis）：退化为代数量，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且，都相同。OvP,rr定轴刚体参参考考方方向向z第5页，本讲稿共27页5.2 刚体的定轴转动定律 类似于多质点系类似于多质点系Jz称为刚体对称为刚体对 z 轴的轴的转动惯量转动惯量rotational inertiaivi O,riri定轴刚体zFimi第6页，本讲稿共27页转动定律其中其中是对是对 z 轴的外力矩和。轴的外力矩和。定轴下，可不写角标定轴下，可不写角标 Z，记作：，记作：与牛与牛II比较：比较：MFJma MJ=J反映刚体转动的惯性第7页，本讲稿共27页5.3 转动惯量的计算 J由质量对轴的分布决定。由质量对轴的分布决定。dmrm第8页，本讲稿共27页一.常用的几个J均匀圆环：均匀圆环：Jc=mR2；均匀圆盘：均匀圆盘：均匀杆：均匀杆：RmC CRmCCAml2l2第9页，本讲稿共27页二.计算 J的几条规律1.对同一轴 J具有可叠加性J=Ji Jmrzi ii=22.平行轴定理Jmrm xyzi iiiiii=+222()mxm xxiiiiici22 =+()=+mxxmxxmiiciiiicii222=0 xydcc222+=m xyJiiiic()22+=JJmdc=+2=JJcmin=mCdmJCJ平行第10页，本讲稿共27页 3.对薄平板刚体的正交轴定理Jm rm xm yziiiiii=+222 例：已知圆盘JmRz=122求对圆盘的一条直径的Jx（或 J y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=142即 JJJxy=+y rix z yi xi mi yx z 圆盘 R C m第11页，本讲稿共27页已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，h=1.5m，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间 t =3s。求：轮对O 轴 J=？解：动力学关系：解：动力学关系：对轮：TRJ=(1),对：mmg T ma-=(2)5.4 转动定律应用举例 定轴ORthmv0=0绳TGRNmgT =-T ma第12页，本讲稿共27页运动学关系：=aR(3)hat=122(4)(1)(4)联立解得：JgthmR=-()2221=-=(.).98321511 02114222kg m分析：单位对；、一定，合理；若，得，正确。1230122.hmJtJhgt =第13页，本讲稿共27页WF sinrF r sinM=()WFs=WMiii=力矩的空间积累效应力矩的空间积累效应5.5 定轴转动中的功能关系 二二.定轴转动动能定理定轴转动动能定理 MdLdtJddtzzz外=类比一维情形：类比一维情形：Fmdvdt=ddtvdsdt-WJJ1222121212=-一一.力矩的功力矩的功J -mdzx轴rF第14页，本讲稿共27页令转动动能转动动能EJk=122（可证：）121222Jm vi i=则 W EEkk=-21应用：飞轮储能，飞轮储能，Ek 2 Ek 惯性电车。惯性电车。第15页，本讲稿共27页三.定轴转动的功原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：W外+W内非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）刚体重力势能：刚体重力势能：若若dW外外+dW内非内非=0，则则Ek+Ep=常量。常量。Emghmgmhmmghpiiiic=ChchimiEp=0第16页，本讲稿共27页例已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，轴光滑，AOl=4 。求:杆下摆角后，角速度=?轴对杆作用力vN=?解：杆 地球系统，+只有重力作功，只有重力作功，E 守恒。初始：，Ek10=令 EP10=末态：EJko2212=,EmglP24=-sin 则：12402Jmglo-=sin (1)第17页，本讲稿共27页 由平行轴定理 JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：=267glsin应用质心运动定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=(3)$costmgNmatct方向：+=(4)第18页，本讲稿共27页algcl=4672sin (5)allmgJctlo=444cos=37g cos (6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,Nmgt=-47cosvNmglmgt=-13747sin$cos$Nmg=+7153162sin=-tgNNtgctgtl11413|()第19页，本讲稿共27页5.6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律现在讨论力矩对时间的积累效应。现在讨论力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点：对点：v vMdLdt外=，vrvMtLLiii外=-21对轴：对轴：MtLLziiizz外=-21刚体：刚体：Lz=Jz=-iMtJJziizz外21刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 当 M外z=0 时，Jz=const.大小不变正、负不变 第20页，本讲稿共27页 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，当 Mz外=0 时，Jconst.izi=，这时角动量可在内部传递。例如图示已知：M=2m，h，=60 求：碰撞后瞬间盘的0=？P转到x轴时盘的=?=?解：解：m下落：mghmv=122vgh=2(1)第21页，本讲稿共27页碰撞 t 极小，对 m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocos=(2)JMRmRmR=+=122222 (3)由(1)(2)(3)得：oghR=22cos (4)对 m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，则：则：P、x 重合时EP=0。令1mgRJJosin+=12222(5)第22页，本讲稿共27页由(3)(4)(5)得：=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()=60o=MJmgRmRgR222第23页，本讲稿共27页5.7 旋进旋进（进动，Precession）旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。定轴转动定轴转动vvLL zz=$（对轴）但对定点转动vL还平行于v吗？显然若mm12(不对称)，则 vvL（对点）0，但质量分布对称、且刚体绕对称但质量分布对称、且刚体绕对称轴转动时，对轴上任一点有：轴转动时，对轴上任一点有：vvL轴轴vvLL zJzz()$()对点对轴=第24页，本讲稿共27页只讨论具有对称轴的刚体的旋进问题vvMdLdt=dLMdtMvvv=vvvv当时，MLdLL则只改变方向vL不改变大小。第25页，本讲稿共27页vdLLd=sinQddt=WQ令 则MdLdtLddt=vsinQL=sinW=WMLMJsinsin1 即：W，当时，=90WMJ 。第26页，本讲稿共27页以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：vvv总=+W只有高速自转 W时，才有总vv&=这时才有vvLJ&=当考虑到 vW 对 v总 的贡献时，自转轴在旋进时还会出现微小的上下的周期摆动，这种运动叫章动(nutation)。地球转轴的旋进：非球效应，进动周期地球转轴的旋进：非球效应，进动周期25800年，岁差（地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年）20 分 33秒;前汉，刘，观察到;祖冲之，引入农历闰月;3000年前，周，北极是b，现 ，12000年后，织女星。第27页，本讲稿共27页
