刚体转动 精.ppt
刚体转动刚体转动 第1页，本讲稿共33页力矩的功2.3.2 力矩作功力矩作功 力矩的功率:结论：刚体内力矩的功的代数之和恒为零。结论：刚体内力矩的功的代数之和恒为零。第2页，本讲稿共33页2.3.3 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量的增量.例例1：一质量为：一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，可绕其一端在竖直平的均匀细棒，可绕其一端在竖直平面内转动。细棒从水平位置开始自由下摆，求面内转动。细棒从水平位置开始自由下摆，求:细棒摆至竖直细棒摆至竖直位置时的角速度。位置时的角速度。第3页，本讲稿共33页OCmgC设棒摆到竖直位置时角速度为设棒摆到竖直位置时角速度为，则由转动动能定理得：，则由转动动能定理得：细棒以一端为转轴的转动惯量为：细棒以一端为转轴的转动惯量为：Lg/3=代入得：解：下摆时，棒所受的力矩只有重力力矩解：下摆时，棒所受的力矩只有重力力矩 (mgLsin)/2，所作的功为：，所作的功为：第4页，本讲稿共33页2.3.5 刚体的重力势能刚体的重力势能其中：其中：hC为刚体质心到重力势能零点的距离。为刚体质心到重力势能零点的距离。2.3.6 质点系和刚体的功能原理质点系和刚体的功能原理A外外A内非内非E2 E12.3.7 质点系和刚体的机械能守恒定律质点系和刚体的机械能守恒定律A外外0A非保内非保内0则则E2 E1常量常量如果如果 在只有保守内力做功的情况下，质点系和刚体的机械能保持不在只有保守内力做功的情况下，质点系和刚体的机械能保持不变。变。第5页，本讲稿共33页本题也可用机械能守恒定律求解，即：本题也可用机械能守恒定律求解，即：这说明，一般质点系的功能原理和机械能守恒定律同样可用于刚体这说明，一般质点系的功能原理和机械能守恒定律同样可用于刚体转动。转动。例例2：一质量为：一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，可绕其一端在竖直的均匀细棒，可绕其一端在竖直平面内转动。细棒从水平位置开始自由下摆，求平面内转动。细棒从水平位置开始自由下摆，求:细棒细棒摆至竖直位置时的角速度。摆至竖直位置时的角速度。细棒以一端为转轴的转动惯量为：细棒以一端为转轴的转动惯量为：Lg/3=代入得：第6页，本讲稿共33页例3、已知m2的物体放在倾角为 的粗糙斜面上，滑动摩擦系数为，一端与轻弹簧连接，（弹簧的倔强系数为k),另一端绕定滑轮与m1的物体相连，定滑轮可看成匀质圆盘，质量为m，半径为R，m1初时静止，求m1下落h处时的加速度和速度。m2m1m ,R第7页，本讲稿共33页2.4 2.4 质点和刚体的质点和刚体的角动量角动量 质点运动状态的描述:刚体定轴转动运动状态的描述:力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理.第8页，本讲稿共33页 质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量 质量为质量为m的质点以速度的质点以速度v 在空间运在空间运动，某时刻相对原点动，某时刻相对原点 O 的位的位矢为矢为r ，质点相对于原点的角动量，质点相对于原点的角动量:大小 的方向符合右手法则.2.4.1 质点角动量质点角动量一、质点角动量一、质点角动量第9页，本讲稿共33页二、质点系的角动量：二、质点系的角动量：2.4.2 刚体的角动量：刚体的角动量：质点系内部所有质点的动量对某一定点的转矩，即：质点系内部所有质点的动量对某一定点的转矩，即：定轴转动的刚体，其内部所有质点具有相同的角速度：定轴转动的刚体，其内部所有质点具有相同的角速度：第10页，本讲稿共33页 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的合力矩的合力矩，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角动量角动量随时间的随时间的变化率变化率.2.5 角动量守恒定律角动量守恒定律 2.5.1 质点角动量定理质点角动量定理 第11页，本讲稿共33页 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量.恒矢量 冲量矩冲量矩2.5.3 角动量守恒定律角动量守恒定律结论：合外力矩的角冲量等于物体角动量的增量，结论：合外力矩的角冲量等于物体角动量的增量，即是角动量定理。即是角动量定理。2.5.2 刚体刚体角动量定理角动量定理第12页，本讲稿共33页角动量守恒定律讨论：角动量守恒定律讨论：角动量守恒定律讨论：角动量守恒定律讨论：（1）单个刚体 J=恒量，角动量守恒=C 即：刚体作惯性转动。（2）多个刚体，角动量守恒表达式为：（3）质点和刚体，角动量守恒表达式为：注意：是质点速度在转动平面内的分量。第13页，本讲稿共33页（4）对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守 恒的表达式：若动作后角速度增加，则若动作后角速度增加，则 与与d 同向，所以同向，所以例如：花样滑冰运动员。问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能 如何变化？第14页，本讲稿共33页 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺）角动量守恒定律在技术中的应用 第15页，本讲稿共33页例1、光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，起初杆静止桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，如图所示当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，求这一系统碰撞后的转动角速度是多少？第16页，本讲稿共33页解：碰撞时合外力不为零，但是和外力矩为零，解：碰撞时合外力不为零，但是和外力矩为零，故角动量守恒故角动量守恒（1）规定转轴正方向）规定转轴正方向 （2）确定始末状态）确定始末状态（3）列方程求解）列方程求解第17页，本讲稿共33页 例例2 一长为一长为 l ,质量为质量为 的杆可绕支点的杆可绕支点O自由自由转动转动.一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入杆内距支的子弹射入杆内距支点为点为 处，使杆的偏转角为处，使杆的偏转角为30.问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少?解解：正确分析物理过程：正确分析物理过程1、子弹与杆作完全非弹性碰撞、子弹与杆作完全非弹性碰撞2、子弹和杆作减速转动，直到静止、子弹和杆作减速转动，直到静止第18页，本讲稿共33页把子弹和杆看作一个系统把子弹和杆看作一个系统.子弹射入竿的过程系子弹射入竿的过程系 统角动量守恒统角动量守恒第19页，本讲稿共33页 射入杆后，以子弹、细杆和射入杆后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统，机械能守恒，机械能守恒.第20页，本讲稿共33页 例例3、长长为为L的的匀匀质质细细棒棒，一一端端悬悬于于O点点，自自由由下下垂垂，紧紧接接O点点悬悬一一单单摆摆，轻轻质质摆摆绳绳的的长长为为L，摆摆球球的的质质量量为为m，单单摆摆从从水水平平位位置置由由静静止止开始自由下摆，与细杆作完全弹性碰撞，碰后单摆停止。开始自由下摆，与细杆作完全弹性碰撞，碰后单摆停止。求：求：(1)细杆的质量；细杆的质量；(2)细杆摆动的最大角度细杆摆动的最大角度max。OLm第21页，本讲稿共33页解:解得:OLm第22页，本讲稿共33页例例4、如图，质量为、如图，质量为M，半径为，半径为R 的边缘有光滑挡板围成侧槽的圆盘，的边缘有光滑挡板围成侧槽的圆盘，可以绕中心轴自由转动，开始时盘静止。今有一质量为可以绕中心轴自由转动，开始时盘静止。今有一质量为m，半径，半径为为r 的棋子以初速的棋子以初速 v0 沿圆盘边缘的切线方向进入侧槽，若棋子与沿圆盘边缘的切线方向进入侧槽，若棋子与圆盘表面的摩擦系数为圆盘表面的摩擦系数为。求：多长时间后棋子与圆盘处于相求：多长时间后棋子与圆盘处于相对静止状态？对静止状态？mv0oR光滑侧槽第23页，本讲稿共33页解：棋子进入侧槽后，与盘面之间存在摩擦力解：棋子进入侧槽后，与盘面之间存在摩擦力f=mg，由于它的作用，由于它的作用使得圆盘作加速转动而棋子作减速转动，最后两者相对静止具有使得圆盘作加速转动而棋子作减速转动，最后两者相对静止具有共同角速度共同角速度。整个系统在转轴方向上所受合外力矩为零，则系统的整个系统在转轴方向上所受合外力矩为零，则系统的 角动量守恒：角动量守恒：mv0oR光滑侧槽第24页，本讲稿共33页设在设在t 时间内圆盘角速度由时间内圆盘角速度由0-则由角动量则由角动量定理可得：定理可得：对圆盘而言，摩擦力矩为：第25页，本讲稿共33页讨论：若讨论：若r R，即可认为棋子是质点，求最终角速，即可认为棋子是质点，求最终角速 度和所需时间。度和所需时间。第26页，本讲稿共33页 例5 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率v0垂直落在距点O为 l/4 处,并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒守恒第27页，本讲稿共33页由角动量定理:即:考虑到:第28页，本讲稿共33页 例6 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为m,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh解解:碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点点 的速度的速度 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间,M、N具具有相同的线速度有相同的线速度第29页，本讲稿共33页 把把M、N和跷板作为一和跷板作为一个系统个系统,角动量守恒角动量守恒解得解得:演员演员 N 以以 u 起跳起跳,达到的高度达到的高度ll/2CABMNh第30页，本讲稿共33页练习题：有两位滑冰运动员，质量均为50 kg，沿着距离为3.0 m的两条平行路径相互滑近他们具有10 m/s的等值反向的速度第一个运动员手握住一根3.0 m长的刚性轻杆的一端，当第二个运动员与他相距3m时，就抓住杆的另一端(假设冰面无摩擦)(1)试定量地描述两人被杆连在一起以后的运动(2)两人通过拉杆而将距离减小为1.0m，问这以后他们怎样运动？第31页，本讲稿共33页解：(1)对两人系统，对于杆中点合外力矩为零，角动量守恒.故 0=2v/l6.67 rad/s 两人将绕轻杆中心O作角速度为6.67 rad/s的转动(2)在距离缩短的过程中，合外力矩为零，系统的角动量守恒，则 J00=J11第32页，本讲稿共33页即作九倍原有角速度的转动第33页，本讲稿共33页
