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第二章 静电场第1页，本讲稿共93页1.电场强度电场强度 电场对某点单位电场对某点单位正正电荷的作用力称为该点的电荷的作用力称为该点的电场电场强度强度，以以E 表示表示。式中式中,q 为试验电荷的电荷量为试验电荷的电荷量;F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。电场强度通过任一曲面的通量称为电场强度通过任一曲面的通量称为电通电通，以以 表示，即表示，即 第2页，本讲稿共93页电场线方程电场管带电平行板 负电荷 正电荷 几种典型的几种典型的电场线电场线分布分布电场线的电场线的疏密程度疏密程度可以显示电场强度的可以显示电场强度的大小大小。第3页，本讲稿共93页2.真空中静电场方程真空中静电场方程 实实验验表表明明，真真空空中中静静电电场场的的电电场场强强度度 E 满满足足下列两个积分形式的方程下列两个积分形式的方程式中，式中，0 为真空介电常数。为真空介电常数。第4页，本讲稿共93页此式表明，真空中静电场的电场强度沿此式表明，真空中静电场的电场强度沿任一任一条闭条闭合曲线的合曲线的环量环量为零。为零。此式称为高斯定此式称为高斯定律律。它表明真空中静电场的电场。它表明真空中静电场的电场强度通过任一强度通过任一封闭封闭曲面的电通等于该封闭曲面所曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电荷量与真空介电常数之比。包围的电荷量与真空介电常数之比。第5页，本讲稿共93页 根据上面两式可以求出电场强度的根据上面两式可以求出电场强度的散度散度及及旋度旋度分别为分别为左式左式表明，真空中静电场的电场强度在某表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式右式表明，表明，真空中静电场的电场强度的旋度真空中静电场的电场强度的旋度处处处处为零为零。真空中静电场是真空中静电场是有散无旋有散无旋场。场。第6页，本讲稿共93页 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据据亥姆霍兹亥姆霍兹定理，电场强度定理，电场强度E 应为应为 xPzyrO第7页，本讲稿共93页求得因此 标标量量函函数数 称称为为电电位位。因因此此，上上式式表表明明真真空空中中静静电电场场在在某某点点的的电电场场强强度度等等于于该该点点电电位位梯梯度度的的负负值。值。已知第8页，本讲稿共93页 按按照照国国家家标标准准，电电位位以以小小写写希希腊腊字字母母 表表示，上式应写为示，上式应写为 将电位表达式代入，求得将电位表达式代入，求得电场强度电场强度与与电荷电荷密度密度的关系为的关系为第9页，本讲稿共93页 若电荷分布在一个有限的若电荷分布在一个有限的表面表面上，或者分布在一上，或者分布在一个有限的个有限的线段线段内，那么可以类推获知此时电位及电场内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的强度与电荷的面密度面密度 S 及及线密度线密度l 的关系分别为的关系分别为第10页，本讲稿共93页（1 1）高斯定律中的电荷量高斯定律中的电荷量q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包所包围的围的全部全部正、负电荷的总和。正、负电荷的总和。静电场几个重要特性静电场几个重要特性（2）静电场的静电场的电场线电场线是不可能闭合的，而且也不可是不可能闭合的，而且也不可能相交。能相交。（3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无线积分与路径无关，它是一种关，它是一种保守场保守场。第11页，本讲稿共93页（4）若若电荷分布已知，计算静电场的三种方法是：电荷分布已知，计算静电场的三种方法是：直接根据直接根据电荷电荷分布计算电场强度分布计算电场强度通过通过电位电位求出电场强度求出电场强度利用利用高斯定律高斯定律计算电场强度计算电场强度第12页，本讲稿共93页例例1 计算计算点电荷点电荷的电场强度。的电场强度。解解 利用高斯定律求解。取中利用高斯定律求解。取中心位于点电荷的球面为心位于点电荷的球面为高斯面高斯面，得，得上式左端积分为 得或xzy高斯面第13页，本讲稿共93页也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，。那么点电荷的电位为求得电场强度 E 为 若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度E 为为 第14页，本讲稿共93页例例2 计算计算电偶极子电偶极子的电场强度。的电场强度。解解 由于电位及电场强度均与由于电位及电场强度均与电荷量的电荷量的一次方一次方成正比。因此，可成正比。因此，可以利用以利用叠加原理叠加原理计算多种分布电荷计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为偶极子产生的电位应为 xq+qzylrrr+O第15页，本讲稿共93页若观察距离远大于间距l，则可认为,，那么xq+qzylrrr+O式中，式中，l 的方向规定由的方向规定由负负电荷指向电荷指向正正电荷。电荷。求得第16页，本讲稿共93页乘积乘积 q l 称为电偶极子的称为电偶极子的电矩电矩，以，以 p 表示，即表示，即那么电偶极子产生的那么电偶极子产生的电位电位可用电矩可用电矩 p 表示为表示为 已知 ，求得电偶极子的电场强度为可见电偶极子的，而且两者均与方位角 有关。第17页，本讲稿共93页电偶极子的电场线和等位线电偶极子的电场线和等位线第18页，本讲稿共93页 例例3 设半径为设半径为a，电荷体密度为，电荷体密度为 的无限长圆柱带的无限长圆柱带电体位于真空，计算该电体位于真空，计算该带电圆柱带电圆柱内、外的电场强度。内、外的电场强度。xzyaLS1 选取选取圆柱圆柱坐标系，由于场量与坐标系，由于场量与 z 坐标无关，且坐标无关，且上下对称上下对称，因此电场，因此电场强度一定垂直于强度一定垂直于 z 轴。再考虑到圆轴。再考虑到圆柱结构具有柱结构具有旋转对称旋转对称的特点，场强的特点，场强一定与角度一定与角度 无关。无关。因此，可以利用因此，可以利用高斯定律高斯定律求解。求解。第19页，本讲稿共93页 取半径为取半径为 r，长度为，长度为 L 的圆的圆柱面与其上下端面构成柱面与其上下端面构成高斯面高斯面。应用高斯定律，得应用高斯定律，得 xzyaLS1 因因电电场场强强度度方方向向处处处处与与圆圆柱柱侧侧面面S1的的外外法法线线方方向向一一致致，而而与与上上下下端端面面的的外外法法线线方方向向垂垂直直，因因此此上上式式左端的面积分为左端的面积分为第20页，本讲稿共93页当r a时，则电荷量q 为,求得电场强度为第21页，本讲稿共93页 a2 可可以以认认为为是是单单位位长长度度内内的的电电荷荷量量。那那么么，柱柱外外电电场场可可以以看看作作为为位位于于圆圆柱柱轴轴上上线线密密度度为为a2 的线电荷产生的电场。的线电荷产生的电场。因此线密度为 的无限长线电荷的电场强度为 由上可见，对于无限长圆柱体分布电荷，利用由上可见，对于无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。第22页，本讲稿共93页xzyr21rO 例4 求长度为L，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。解解 令圆柱坐标系的令圆柱坐标系的 z 轴与轴与线电荷的长度方位一致，且中点线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构为坐标原点。由于结构旋转对称旋转对称，场强与方位角场强与方位角 无关。无关。因为电场强度的方向无法判因为电场强度的方向无法判断，断，不能不能应用高斯定律，必须直应用高斯定律，必须直接求积。接求积。第23页，本讲稿共93页 因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点P 位于yz平面，即 ，那么 xzyr21rO考虑到第24页，本讲稿共93页求得当长度当长度 L 时，时，1 0，2，则，则此结果与此结果与例例3 完全相同。完全相同。第25页，本讲稿共93页3.电位与等位面电位与等位面 电电位位的的物物理理意意义义是是单单位位正正电电荷荷在在电电场场力力的的作作用用下下，自自该该点点沿沿任任一一条条路路径径移移至至无无限限远远处处过过程程中中电电场场力作的力作的功功。这这里里所所说说的的电电位位实实际际上上是是该该点点与与无无限限远远处处之之间间的电位差，或者说是以的电位差，或者说是以无限远无限远处作为处作为参考点参考点的电位。的电位。任取一点任取一点可以作为电位参考点。可以作为电位参考点。当当电电荷荷分分布布在在有有限限区区域域时时，通通常常选选择择无无限限远远处处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零零。第26页，本讲稿共93页电位的数学表示式中，式中，q 为电荷量；为电荷量；W 为电场力将电荷为电场力将电荷 q 推到无限推到无限远处所作的功。远处所作的功。电电位位的的参参考考点点不不同同，某某点点电电位位的的值值也也不不同同。但但是是，任任意意两两点点之之间间的的电电位位差差与与电电位位参参考考点点无无关关，因因此此电位参考点的选择不会影响电场强度的值电位参考点的选择不会影响电场强度的值。第27页，本讲稿共93页电位相等的曲面称为等位面，其方程为式中常数式中常数 C 等于电位值。等于电位值。若规定相邻的等位面之间的若规定相邻的等位面之间的电位差电位差保持恒定，那保持恒定，那么么等位面等位面分布的疏密程度也可表示分布的疏密程度也可表示电场强度电场强度的强弱。的强弱。由于，电场线与等位面处处保持垂直。第28页，本讲稿共93页等位面电场线E几种电场线和等位面的分布几种电场线和等位面的分布第29页，本讲稿共93页有极分子无极分子4.介质极化介质极化 导体导体中的电子称为中的电子称为自由电子自由电子，其电荷称为，其电荷称为自由电荷自由电荷。介质介质中的电荷不会自由运动，因此称为中的电荷不会自由运动，因此称为束缚电荷束缚电荷。在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象称在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象称为为极化极化。无极无极分子的极化称为分子的极化称为位移位移极化，极化，有极有极分子的极分子的极化称为化称为取向取向极化。极化。无极分子有极分子Ea第30页，本讲稿共93页外加场Ea 介质极化现象是介质极化现象是逐渐逐渐形成的。自外电场形成的。自外电场Ea 加入加入发生极化后，一直达到发生极化后，一直达到动态平衡动态平衡的过程如下图所示。的过程如下图所示。介介 质质合成场合成场Ea+Es 极 化二次场Es第31页，本讲稿共93页 单位体积中电矩的矢量和称为单位体积中电矩的矢量和称为极化强度极化强度，以，以P 表示，即表示，即 式中，式中，pi 为体积为体积 V 中第中第 i 个电偶极子的电矩；个电偶极子的电矩；N 为为V 中电偶极子的数目。中电偶极子的数目。式中式中e 称为称为极化率极化率，它是一个，它是一个正正实数。实数。大多数介质发生极化时，令第32页，本讲稿共93页可见，极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化率可见，极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化率与电场与电场方向方向无关，这类介质称为无关，这类介质称为各向同性各向同性介质。介质。可见，极化特性与电场强度方向有关，这类介质称为可见，极化特性与电场强度方向有关，这类介质称为各向异性各向异性介质。介质。另一类介质的极化强度另一类介质的极化强度P与电场强度与电场强度 E 的关系可用的关系可用下列矩阵表示下列矩阵表示 第33页，本讲稿共93页 空间各点极化率相同的介质称为空间各点极化率相同的介质称为均匀均匀介质，否则，介质，否则，称为称为非均匀非均匀介质。介质。因此，若极化率是一个因此，若极化率是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性线性均匀且各向同性均匀且各向同性的介质。若前述的介质。若前述矩阵矩阵的各个元素都是的各个元素都是一个一个正实常数正实常数，则适用于线性均匀各向，则适用于线性均匀各向异异性的介质。性的介质。极化率与电场强度的极化率与电场强度的大小大小无关的介质称为无关的介质称为线性线性介介质，否则，称为质，否则，称为非线性非线性介质。介质。第34页，本讲稿共93页 极化率与时间无关的介质称为极化率与时间无关的介质称为静止静止媒质，否则媒质，否则称为称为运动运动媒质。媒质。介质的均匀与非均匀、线性与非线性、各向同介质的均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同完全不同的概的概念，不应混淆。念，不应混淆。各向各向异性异性的介质能否是的介质能否是均匀均匀的？的？非非均匀介质能否是各向均匀介质能否是各向同性同性的？的？第35页，本讲稿共93页 极化以后，介质表面出现极化以后，介质表面出现面面分布的束缚电荷。若介分布的束缚电荷。若介质内部不均匀，在介质内部出现质内部不均匀，在介质内部出现体体分布的束缚电荷。分布的束缚电荷。这这些面分布及体分布的束缚电荷又称为些面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷极化电荷。式中，极化强度与极化电荷的关系为 可以证明，极化电荷产生的电位为 第36页，本讲稿共93页 可见，任一块介质内部可见，任一块介质内部体体分布的束缚电荷与介质分布的束缚电荷与介质块的表块的表面面束缚电荷是等值异性的束缚电荷是等值异性的。再利用散度定理，求得内部总体极化电荷为再利用散度定理，求得内部总体极化电荷为可见，总面极化电荷为第37页，本讲稿共93页 5.介质中的静电场方程介质中的静电场方程 在介质内部，穿过任一闭合面在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为的电通应为式中，q 为自由电荷；为束缚电荷。那么 令，求得此处定义的此处定义的 D 称为称为电通密度电通密度。第38页，本讲稿共93页可见，介质中穿过任一闭合面的电通密度的通量等于可见，介质中穿过任一闭合面的电通密度的通量等于该闭合面包围的该闭合面包围的自由自由电荷，而与电荷，而与束缚束缚电荷无关。电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的上式又称为介质中的高斯定律的积分积分形式，利用形式，利用散度定理散度定理不难推出其不难推出其微分微分形式为形式为 该式该式表明，表明，某某点点电通密度的散度等于该电通密度的散度等于该点自由点自由电荷电荷的体密度的体密度。第39页，本讲稿共93页 电通密度电通密度也可用一系列曲线表示，也可用一系列曲线表示，电通密度线电通密度线的的定义与定义与电场线电场线完全相同。完全相同。电通密度线起始于电通密度线起始于正正的的自由自由电荷，而终止于电荷，而终止于负负的的自由自由电荷，与电荷，与束缚束缚电荷无关。电荷无关。用电通密度线围成电通密度管。电通密度管轴线电通密度线方程第40页，本讲稿共93页已知各向同性介质的极化强度，求得 令式中，式中，称为介质的称为介质的介电常数介电常数。则？由于，因此第41页，本讲稿共93页相对介电常数 r 定义为几种介质的相对介电常数几种介质的相对介电常数介 质介 质空 气1.0石 英3.3油2.3云 母6.0纸1.34.0陶 瓷5.36.5有机玻璃2.63.5纯 水81石 腊2.1树 脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr1第42页，本讲稿共93页各向异性各向异性介质的电通密度与电场强度的关系为介质的电通密度与电场强度的关系为可见，可见，各向异性各向异性介质中，介质中，电通密度电通密度和电场强度的关系和电场强度的关系与外加电场的与外加电场的方向方向有关。有关。均匀均匀介质的介电常数与介质的介电常数与空间坐标空间坐标无关。无关。线性线性介质介质的介电常数与电场强度的的介电常数与电场强度的大小大小无关。无关。静止静止介质的介电介质的介电常数与常数与时间时间无关。无关。第43页，本讲稿共93页 对对于于均均匀匀介介质质，由由于于介介电电常常数数与与坐坐标标无无关关，因此获得因此获得可见，对于可见，对于均匀均匀介质，前述电场强度及电位与自介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只需将由电荷的关系式仍然成立，只需将0 换为换为 即可。即可。上式中上式中 q,是什么电荷是什么电荷？第44页，本讲稿共93页6.两种介质的边界条件两种介质的边界条件 由于介质的特性不同，引起场量在两种介质的由于介质的特性不同，引起场量在两种介质的分界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的分界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边边界条件界条件。通常分别讨论边界通常分别讨论边界上场量的切向分量和法上场量的切向分量和法向分量的变化规律。向分量的变化规律。1 2enetn normalt tangential第45页，本讲稿共93页E2E11324lh 1 2et 围绕围绕某某点点且且紧贴边界紧贴边界作作一个有向矩形闭合曲线，其一个有向矩形闭合曲线，其长度为长度为l，高度为，高度为h，则，则电电场强度沿该矩形曲线的场强度沿该矩形曲线的环量环量为为 为了求出为了求出边界上边界上的场量关系，必须令的场量关系，必须令 h 0，则线积分则线积分 电场强度的电场强度的切向切向分量。分量。第46页，本讲稿共93页 为了求出边界上为了求出边界上某点某点的场量关系，必须令的场量关系，必须令 l 足够短，足够短，以至于在以至于在 l 内可以认为场量是内可以认为场量是均匀均匀的，则上述环量为的，则上述环量为 此式表明，此式表明，在两种介质的边界上，两侧的在两种介质的边界上，两侧的电场强度的电场强度的切向分量相等切向分量相等，或者说，或者说，电场强度的切向分量是电场强度的切向分量是连续连续的的。已知 ,得第47页，本讲稿共93页此式表明，此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界在两种各向同性的线性介质形成的边界上，上，电通密度的切向分量是不连续的电通密度的切向分量是不连续的。已知各向同性的线性介质，得 hS 围围绕绕某某点点作作一一个个圆圆柱柱面面，其其高高度度为为h，端端面面为为S。那那么么 1 2en 电通密度电通密度的法向分量。的法向分量。D2D1第48页，本讲稿共93页 当当 h0，则则通通过过侧侧面面的的通通量量为为零零，又又考考虑虑到到 S 必须足够小，则上述通量应为必须足够小，则上述通量应为边界法线的边界法线的方向方向en规定为由介质规定为由介质指向介质指向介质。求得式中，式中，S 为边界上自由电荷的面密度。为边界上自由电荷的面密度。hS 1 2enD2D1第49页，本讲稿共93页 在在两两种种介介质质的的边边界界上上不不可可能能存存在在表表面面自自由由电电荷，因此荷，因此此式表明，此式表明，在两种介质边界上在两种介质边界上电通密度的法向分量电通密度的法向分量相等相等，或者说，或者说，电通密度的法向分量是连续的电通密度的法向分量是连续的。对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 可见，可见，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电电场强度的法向分量不连续场强度的法向分量不连续。还可证明 第50页，本讲稿共93页7.介质与导体的边界条件介质与导体的边界条件 可可见见，导导体体中中不不可可能能存存在在静静电电场场，导导体体内内部部不不可可能能存存在在自自由由电电荷荷。处处于于静静电电平平衡衡时时，自自由由电电荷荷只只能能分分布布在导体的在导体的表面表面上。上。EEE+E=0EE=0导体静电平衡静电平衡第51页，本讲稿共93页 因为因为导体中导体中不可能存在静电场，因此导体中的不可能存在静电场，因此导体中的电电位梯度位梯度为为零零。所以，处于。所以，处于静电平衡静电平衡状态的导体是一状态的导体是一个个等位体等位体，导体表面是一个，导体表面是一个等位面等位面。既既然然导导体体中中的的电电场场强强度度为为零零，导导体体表表面面的的外外侧侧不不可可能能存存在在电电场场强强度度的的切切向向分分量量。换换言言之之，电电场场强强度必须垂直于导体的表面度必须垂直于导体的表面，即，即介质E,D导体en第52页，本讲稿共93页导体表面存在的自由电荷面密度为导体表面存在的自由电荷面密度为 或写为式中，式中，为导体周围介质的介电常数。为导体周围介质的介电常数。已知导体表面是一个等位面，因 ，求得 考虑到导体中不存在静电场，因而考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度极化强度为为零。求得导体表面零。求得导体表面束缚束缚电荷面密度为电荷面密度为 第53页，本讲稿共93页边界条件边界条件E2E1 1 2et 1 2enD2D1介质E,D导体en第54页，本讲稿共93页 静电屏蔽静电屏蔽E=0E 0 E 0 E=0 第55页，本讲稿共93页 例例 已知半径为已知半径为 r1 的的导体球导体球携带的携带的正正电荷量为电荷量为q，该导体，该导体球被内半径为球被内半径为 r2 的导体球的导体球壳壳所包围，球与球壳之间填充介所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为质，其介电常数为1，球壳的外半径为，球壳的外半径为 r3，球壳的外表面，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为敷有一层介质，该层介质的外半径为r4，介电常数为，介电常数为2，外部区域为真空，如左下图所示。外部区域为真空，如左下图所示。试求：试求：各区域中的各区域中的电场强度电场强度；各个表面上的各个表面上的自由自由电电 荷和荷和束缚束缚电荷。电荷。r1r2r3r4 0 2 1可以应用可以应用高斯定律高斯定律求解吗求解吗?第56页，本讲稿共93页解解 在在 r r1及及 r2 r r3 区域中区域中 E=0 在在 r1 r r2 区域中区域中同理，在r3 r r4 区域中，求得？注意，各区域中的介电常数不同注意，各区域中的介电常数不同！r1r2r3r4 0 2 1第57页，本讲稿共93页根据及，分别求得r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:r1r2r3r4 0 2 1第58页，本讲稿共93页8.电容电容由物理学得知，平板电容器的电容为由物理学得知，平板电容器的电容为 电容的单位电容的单位 F（法拉）。（法拉）。C地球 F 实际中，使用实际中，使用 F（微法）及（微法）及 pF（皮法）作为（皮法）作为电容单位。电容单位。第59页，本讲稿共93页 多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身本身电荷有关，同时还与电荷有关，同时还与其他其他导体上的电荷有关。导体上的电荷有关。q1q3qnq2 各个导体上的各个导体上的电荷电荷与与导体间的导体间的电位差电位差的关系为的关系为式中，式中，Cii 称为称为固有部分电容固有部分电容；Cij 称为称为互有部分电容互有部分电容。|第60页，本讲稿共93页 例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内，外导体的内半径为半径为b，内、外导体之间填充介质的介电常数为内、外导体之间填充介质的介电常数为 。试求。试求单位长度单位长度内、外导体之间的电容。内、外导体之间的电容。能否应用高斯定律求解能否应用高斯定律求解?ab第61页，本讲稿共93页 解解 设内导体单位长度内的设内导体单位长度内的电荷量为电荷量为q，围绕内导体作一个单，围绕内导体作一个单位长度圆柱面作为位长度圆柱面作为高斯面高斯面S，则，则那么内、外导体之间的电位差 U 为 因此单位长度内的电容为 ab第62页，本讲稿共93页9.电场能量电场能量 电场力作电场力作功功，需要消耗自身，需要消耗自身的能量，可见静电场是具有的能量，可见静电场是具有能量能量的。的。外力外力反抗反抗电场力作功，此功电场力作功，此功将转变为静电场的能量将转变为静电场的能量储藏储藏在静在静电场中。电场中。根据根据电场力作功电场力作功或或外力作功外力作功与与静电场能量静电场能量之间的转之间的转换关系，可以计算静电场能量。换关系，可以计算静电场能量。EFEv第63页，本讲稿共93页 首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电荷量为电荷量为 Q 的的孤立孤立带电体的能量。带电体的能量。设带电体的电荷量设带电体的电荷量 Q 是从是从零零开始逐渐由开始逐渐由无限无限远远处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无需作功。当第二个时外力无需作功。当第二个dq 移入时，移入时，外力外力必须必须克服电场力克服电场力作功作功。若获得的电位为若获得的电位为，则外力必须作的功为，则外力必须作的功为 dq，因此，电场能量的增量为因此，电场能量的增量为 dq。第64页，本讲稿共93页 已已知知孤孤立立导导体体的的电电位位 等等于于携携带带的的电电量量 Q 与与电电容容 C 的之比，的之比，即即求得电量为求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为的孤立带电体具有的能量为 或者为 已知带电体的电位随着电荷荷的逐渐增加而不断已知带电体的电位随着电荷荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量升高，可见电位是电量 q 的的函数函数。那么当电荷量增至那么当电荷量增至最终值最终值 Q 时，外力作的总功为时，外力作的总功为第65页，本讲稿共93页 对对于于 n 个个带带电电体体，设设每每个个带带电电体体的的电电荷荷量量均均从从零零开开始始，且且以以同同样样的的比比例例增增长长。若若周周围围介介质质是是线线性性的的，则则当当各各个个带带电电体体的的电电荷荷量量增增加加一一倍倍时时，各各个带电体的电位也升高一倍。个带电体的电位也升高一倍。设设第第 i 个个带带电电体体的的电电位位最最终终值值为为 i，电电荷荷量量最最终终值值为为 Qi，若若某某一一时时刻刻第第 i 个个带带电电体体的的电电荷荷量量为为 qi=Qi (1)，则电位为，则电位为第66页，本讲稿共93页当各个带电体的电量同时分别增至最终值时，该系统的总电场能为 求得 那那么么当当各各个个带带电电体体的的电电荷荷量量均均以以同同一一比比例例 增长，增长，外力外力必须作的功为必须作的功为第67页，本讲稿共93页当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由，求得总能量为 式中，式中，(r)为体元为体元 dV、面元、面元 dS、或线元、或线元 dl 所在处所在处的电位；积分区域为的电位；积分区域为电荷电荷分布的整个空间。分布的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的据的整个整个空间，应该计算静电场的能量分布空间，应该计算静电场的能量分布密度密度。静电场的静电场的能量密度能量密度以小写英文字母以小写英文字母 we 表示。表示。第68页，本讲稿共93页 设两个导体携带的电荷量为设两个导体携带的电荷量为Q1和和 Q2，其表面积，其表面积分别为分别为 S1和和 S2，如下所示。，如下所示。S2Q2Q1S1Venen 已知电荷分布在导体的已知电荷分布在导体的表面表面上，因此，该系统的上，因此，该系统的总总能量为能量为 又知，求得第69页，本讲稿共93页S 若在无限远处再作一若在无限远处再作一个无限大的球面个无限大的球面 S，由，由于电荷分布在有限区域，于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分趋于零。因此，积分 S2Q2Q1S1Venen那么，上面的储能公式可写为 式中。第70页，本讲稿共93页考虑到区域 V 中没有自由电荷，所以 。又 ，代入上式，求得由此求得静电场的能量密度 利用散度定理，上式可写利用散度定理，上式可写第71页，本讲稿共93页已知各向同性的线性介质，代入后得 此此式式表表明明，静静电电场场能能量量与与电电场场强强度度平平方方成成正正比比。因因此此，能能量量不不符符合合叠叠加加原原理理，即即多多带带电电体体的的总总能能量量并并不不等等于于各各个个带带电电体体单单独独存存在在时时具具有有的的各各个个能能量量之之和。和。因因为为第第2个个带带电电体体引引入入系系统统时时，外外力力必必须须反反抗抗第第1个个带带电电体体对对第第2个个带带电电体体产产生生的的电电场场力力而而作作功功，此此功功转转变变为为电电场场能能量量，这这份份能能量量称称为为互互有有能能，而而带带电电体体单独单独存在时具有的能量称为存在时具有的能量称为固有能固有能。第72页，本讲稿共93页能量计算能量计算第73页，本讲稿共93页 例例 计算半径为计算半径为 a，电荷量为，电荷量为 Q 的导体球具有的的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为能量。导体周围介质的介电常数为。解解 通过通过电位电位。aQ可以通过可以通过三种三种途径求解。途径求解。已知半径为已知半径为a，电荷量为，电荷量为 Q 的导体球的电位为的导体球的电位为第74页，本讲稿共93页 通过通过表面电荷表面电荷。通过通过能量密度能量密度。求得已知导体表面是一个等位面，那么积分求得已知导体表面是一个等位面，那么积分求得 已知电荷量为已知电荷量为 Q 的导体球外的电场强度为的导体球外的电场强度为第75页，本讲稿共93页10.电场力电场力 某点电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷受到的电场力为 若上式中若上式中 E 为为点点电荷电荷 q 产生的电场强度，则产生的电场强度，则 式中，式中，为该点电荷周围介质的介电常数。为该点电荷周围介质的介电常数。第76页，本讲稿共93页那么，点电荷 q 对于点电荷 的作用力为式中er 为由 q 指向 的单位矢量。库仑定律库仑定律qqF第77页，本讲稿共93页 根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算电电场场力力。但但是是，对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，根根据据库库仑仑定定律律计计算算电电场场力力是是非常非常困难的。困难的。为了计算电场力，通常采用为了计算电场力，通常采用虚位移法虚位移法。这这种种方方法法是是假假定定带带电电体体在在电电场场作作用用下下发发生生一一定定的的位位移移，根根据据位位移移过过程程中中电电场场能能量量的的变变化化与与外外力力及及电场力电场力所作的所作的功功之间的关系计算电场力。之间的关系计算电场力。第78页，本讲稿共93页 以以平平板板电电容容器器为为例例，设设两两极极板板上上的的电电荷荷量量分分别为别为+q 及及 q，板间距离为，板间距离为 l。dll q+q 两两极极板板间间的的相相互互作作用用力力实实际际上上导导致致板板间间距距离离减减小小。因因此此，在在上上述述假假定定下下，求求出出的作用力应为的作用力应为负值负值。假定在电场力作用下，极假定在电场力作用下，极板之间的距离板之间的距离增量增量为为dl。第79页，本讲稿共93页 已假定作用力已假定作用力 F 导致位移增加，因此，作用力导致位移增加，因此，作用力 F 的方向为位移的的方向为位移的增加增加方向。这样，为了产生方向。这样，为了产生 dl 位位移增量，电场力作的功应为移增量，电场力作的功应为式式中中，下下标标“q=常数”说说明明发发生生位位移移时时，极极板板上上的的电荷量没有变化，这样的带电系统称为电荷量没有变化，这样的带电系统称为常电荷系统常电荷系统。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即的减小值，即第80页，本讲稿共93页已知平板电容器的电容及能量分别为式中，负号表明作用力的式中，负号表明作用力的实际实际方向是指向位移方向是指向位移减减小小的方向。的方向。代入前式求得平板电容器两极板之间的作用力为第81页，本讲稿共93页 如如果果假假定定发发生生位位移移时时，电电容容器器始始终终与与电电源源相相连连，这这样样，在在虚虚位位移移过过程程中中，两两极极板板的的电电位位保保持持不变，这种系统称为不变，这种系统称为常电位系统常电位系统。根根据据这这种种常常电电位位的的假假定定，也也可可以以计计算算平平板板电电容容器器两两极极板板之之间间的的作作用用力力，所所得得结结果果应应该该与与上上完全相同。完全相同。第82页，本讲稿共93页 由由于于位位移移增增加加，电电容容减减小小，为为了了保保持持电电位位不不变变，极极板电荷一定板电荷一定增加增加。式中为两极板之间的电压。常常电位电位系统系统 设正极板的电荷增量为设正极板的电荷增量为dq，负极板为，负极板为 dq，对，对应的电位分别为应的电位分别为 1 及及 2，则，则电场能量电场能量的增量为的增量为dll2+1 U+第83页，本讲稿共93页 为为了了将将dq电电荷荷移移至至电电位位为为1的的正正极极板板，将将电电荷荷dq 移至电位为移至电位为2 的负极板，的负极板，外源外源必须作的功为必须作的功为 根根据据能能量量守守恒恒定定律律，外外源源作作功功的的一一部部分分供供给给电电场力作场力作功功，另一部分转变为电场能的，另一部分转变为电场能的增量增量，因此，因此第84页，本讲稿共93页已知平板电容器的电容及能量分别为求得同样结果如果利用库仑定律，如何计算如果利用库仑定律，如何计算？那么能量为第85页，本讲稿共93页 例例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的到的表面张力表面张力。表面张力的单位是什么表面张力的单位是什么？N/m第86页，本讲稿共93页 根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的的减小值减小值，即，即 解解 利用利用虚位移虚位移概念。概念。假定由于极板上的同性假定由于极板上的同性电荷相斥产生的表面张力电荷相斥产生的表面张力F，使极板面积扩大了，使极板面积扩大了dS，则，则电场力电场力作的作的功功为为第87页，本讲稿共93页已知平板电容器的能量为，代入上式，得 若虚位移时，极板与若虚位移时，极板与外源外源相连，因而相连，因而电位电位保持保持不变。那么，表面张力不变。那么，表面张力F 应为应为 那么将代入，即可获得同样结果。第88页，本讲稿共93页如果将 及 两式中的变量 l 理解为一种广义坐标，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。广义坐标广义力单 位位 移力N面 积表面张力N/m体 积膨胀力N/m2角 度转 矩Nm第89页，本讲稿共93页 若若规规定定广广义义力力的的方方向向为为广广义义坐坐标标增增加加的的方方向向，那那么么，广广义义力力与与广广义义坐坐标标的的乘乘积积仍仍然然等等于于功功。这样，前两式可分别改写为这样，前两式可分别改写为式中的式中的偏微分偏微分符号是考虑到系统的能量可能与符号是考虑到系统的能量可能与几种几种广义坐标有关，广义坐标有关，l 代表对应于广义力的代表对应于广义力的广义坐标广义坐标。第90页，本讲稿共93页 当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若其能量当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若其能量没没有有改变，也就改变，也就不存在不存在使该广义坐标变化的广义力。使该广义坐标变化的广义力。带电系统的能量与带电系统的能量与多少种广义坐标多少种广义坐标有关，就存在有关，就存在多少多少种广义力种广义力。例如平板电容器的能量为因此存在改变间距因此存在改变间距 l 的拉力和改变面积的拉力和改变面积 S 的张力。的张力。为什么两个公式符号相反为什么两个公式符号相反？如何选用如何选用？第91页，本讲稿共93页例例 计算带电肥皂泡的计算带电肥皂泡的膨胀力膨胀力。解解 设肥皂泡的电荷量为设肥皂泡的电荷量为q，半径为，半径为a。利用。利用常电常电荷荷系统公式，令式中的广义坐标系统公式，令式中的广义坐标 l 代表体积代表体积 V，则受，则受到的到的膨胀力膨胀力F 为为+第92页，本讲稿共93页已知半径为已知半径为a，电荷量为，电荷量为q 的带电球的电位为的带电球的电位为又知球的体积为 求得 如果利用库仑定律，如何计算如果利用库仑定律，如何计算？第93页，本讲稿共93页