曲线积分与曲面积分习题课.ppt
第十章 习题课曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一一 基本要求基本要求1理理解解两两类类曲曲线线和和曲曲面面积积分分的的概概念念,了了解解两类积分的性质以及两类积分的关系两类积分的性质以及两类积分的关系.2掌握计算两类曲线、曲面积分的方法掌握计算两类曲线、曲面积分的方法.3掌掌握握格格林林公公式式并并会会运运用用平平面面曲曲线线积积分分与路径无关的条件与路径无关的条件.4.了解高斯公式了解高斯公式,并会用公式求曲面积分并会用公式求曲面积分.5会会用用曲曲线线积积分分和和曲曲面面积积分分求求一一些些几几何何量量与与物物理理量量（弧弧长长,质质量量,重重心心,转转动动惯惯量量,引力、功和流量等）引力、功和流量等）.二二.要点提示要点提示弧微分弧微分设设L：（1）对弧长（第一类）对弧长（第一类）1.曲线积分的计算曲线积分的计算化为定积分计算化为定积分计算（2）对坐标（第二类）对坐标（第二类）设设L：2曲面积分的计算（化为二重积分）曲面积分的计算（化为二重积分）若若（1）对面积（第一类）的曲面积分）对面积（第一类）的曲面积分若 下侧，则若 上侧，则（2）对坐标（第二类）的曲面积分）对坐标（第二类）的曲面积分3.格林公式格林公式 平面上曲线积分与二重积分的关系平面上曲线积分与二重积分的关系（1）曲线积分与路径无关的条件）曲线积分与路径无关的条件L取正向取正向.以及等价关系以及等价关系.（2）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线，）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线，利用格林公式求曲线积分利用格林公式求曲线积分.4.4.高斯公式高斯公式 曲面积分与三重积分的关系曲面积分与三重积分的关系问题问题1 设设 为平面为平面在柱面在柱面下面两个积分的解法是否正确？下面两个积分的解法是否正确？内那一部分的上侧，内那一部分的上侧，三 问题与思考正确正确错误错误是是 在在xoy面上的投影，面上的投影，因为第二个积分是对坐标的曲面积分，因为第二个积分是对坐标的曲面积分，如果如果 是下侧，则是下侧，则故正确的作法是：故正确的作法是：其中的微元其中的微元问题问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？概念？答：由于实际需要答：由于实际需要,曲线积分与曲面积分为两种曲线积分与曲面积分为两种类型类型,有关质量有关质量重心重心转动惯量等数量积分问转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积分题导出第一类线面积分;有关变力作功有关变力作功,流体流过流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分.前者被积函数化为数量函数沿区域积分前者被积函数化为数量函数沿区域积分,无需无需考虑方向性考虑方向性,而后者被积函数是向量函数而后者被积函数是向量函数,必须考必须考虑方向虑方向.因此因此,一个函数的积分可以由积分区域的一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类型的积分有向或无向分为两种类型的积分.在所学过的积分中区域无向的积分有：在所学过的积分中区域无向的积分有：重积分重积分,第一类曲线积分和第一类曲面积分第一类曲线积分和第一类曲面积分区域有向的积分有：区域有向的积分有：定积分定积分,第二类曲线积分和第二类曲面积分第二类曲线积分和第二类曲面积分.曲线的方向是由起点到终点（定积分）曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定或切向量的方向来确定,曲面的方向则由曲曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定面上点的法向量所指向的侧来确定.问题问题3 设设 是半球面是半球面 的外侧的外侧.有人说：有人说：“由对称性知由对称性知故同样也有故同样也有 ”,对吗对吗?不对不对 讨论题 由此给出对弧长的曲线积分的由此给出对弧长的曲线积分的几何意义几何意义.已知一柱面的准线（平面曲线）和高，已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广提示：由定积分的几何意义推广.答：柱面的侧面积答：柱面的侧面积（准线准线y=y(x)为底边，为底边，z=f(x,y)为为高高的面积）的面积）y=y(x)平面上对弧长的曲线积分几何意义：平面上对弧长的曲线积分几何意义：例例1 计算计算。四 典型题目解解解解 改写改写L：因为积分曲线因为积分曲线L关于关于y轴对称，函数轴对称，函数 2xy是是x例例3 设设L为椭圆为椭圆其周长为其周长为a，求，求解解 原式原式=的奇函数，因此有的奇函数，因此有而而所以所以 L取顺时针方向取顺时针方向.t 从从 变到变到0.例例4 4 计算曲线积分计算曲线积分其中其中L是曲线是曲线因此可令因此可令再由再由得得解解 这里这里L由一般方程给出，首先要将一般由一般方程给出，首先要将一般从从z轴正向看去，轴正向看去，方程化为参数方程方程化为参数方程.注意到注意到于是于是L参数方程参数方程t 从从 变到变到0.解法解法2 由对称性（轮换性）由对称性（轮换性）的下侧的下侧.是是介于介于之间的部分，它的法向量指向前侧之间的部分，它的法向量指向前侧.解解 由于曲面由于曲面在在xoy面的投影为一半圆周面的投影为一半圆周曲线，曲线，所以所以例例7 求求面积为面积为0，对于对于 分为两块分为两块 右侧右侧与与在在xoz面上的投影区域相同面上的投影区域相同,即即 而侧相反，故而侧相反，故 .左侧左侧对于对于 在在yoz面上的投影区域为面上的投影区域为 故故因此，原积分因此，原积分前侧前侧
