《微分方程模型》课件.ppt

数学建模讲义数学建模讲义微分方程模型微分方程模型微分方程模型1、人口预报问题、人口预报问题3、捕食问题、捕食问题2、传染病问题、传染病问题0、总论与简例、总论与简例根据规律建立模型根据规律建立模型 根据数学，物理，力学，化学等学科中根据数学，物理，力学，化学等学科中已有的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔已有的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射性规律，霍夫电流及电压定律，物质的放射性规律，曲线的切线等，这些都涉及到函数的变化率，曲线的切线等，这些都涉及到函数的变化率，可根据相应的规律列出常微分方程。可根据相应的规律列出常微分方程。0、总论与简例、总论与简例微分方程的解为微分方程的解为：可求出经过可求出经过1小时温度可以降到小时温度可以降到30度。度。例例1：物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差：物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比，如果物体在成正比，如果物体在20min内由内由100度冷却到度冷却到60度，那么经过多长时间此物体温度达到度，那么经过多长时间此物体温度达到30度？度？解：牛顿的冷却定律：将温度为解：牛顿的冷却定律：将温度为T的物体放入处的物体放入处于常温于常温T0的介质中时的介质中时,T 的变化速率正比于的变化速率正比于T与周与周围介质的温度差。围介质的温度差。微元法建模微元法建模 在数学、力学、物理等许多教科书上会见到用微在数学、力学、物理等许多教科书上会见到用微元分析法建立常微分方程模型的例子，它实际上是应元分析法建立常微分方程模型的例子，它实际上是应用一些已知的规律或定理寻求某些微元增量之间的关用一些已知的规律或定理寻求某些微元增量之间的关系式，在同一个变量的变化间隔内，建立等式系式，在同一个变量的变化间隔内，建立等式变化量输入量一输出量变化量输入量一输出量再简化为微分方程。再简化为微分方程。例例2 一根长度为一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为，另一端温度恒为T2，（，（T1、T2为常数，为常数，T1 T2）。金属杆横截面积为）。金属杆横截面积为A，截面的边，截面的边界长度为界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3b/a时，传染源先增加再减少直至平息时，传染源先增加再减少直至平息;控制控制y非常关键非常关键研制疫苗、增强体质研制疫苗、增强体质;增大增大b/a也非常关键也非常关键隔离、治愈隔离、治愈;建模示例建模示例3：地中海鲨鱼问题：地中海鲨鱼问题 意意大大利利生生物物学学家家Ancona曾曾致致力力于于鱼鱼类类种种群群相相互互制制约约关关系系的的研研究究,他他从从第第一一次次世世界界大大战战期期间间,地地中中海海各各港港口口捕捕获获的的几几种种鱼鱼类类捕捕获获量量百百分分比比的的资资料料中中,发发现现鲨鲨鱼鱼等等的的比比例例有有明明显显增增加加(见见下下表表),而而供供其其捕捕食食的的食食用用鱼鱼的的百百分分比比却却明明显显下下降降.显显然然战战争争使使捕捕鱼鱼量量下下降降,食食用用鱼鱼增增加加,鲨鲨鱼鱼等等也也随随之之增增加加,但但为为何何鲨鲨鱼鱼的的比比例例大幅增加呢？大幅增加呢？他他无无法法解解释释这这个个现现象象,于于是是求求助助于于著著名名的的意意大大利利数数学学家家V.Volterra,希希望望建建立立一一个个食食饵饵捕捕食食系系统统的的数数学学模模型型,定定量地回答这个问题量地回答这个问题.年代年代1914 1915 1916 1917 1918百分比百分比11.921.4 22.1 21.236.4年代年代1919 1920 1921 1922 1923百分比百分比27.316.0 15.9 14.810.7捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例 该该 模型反映了在没有人工捕模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系间的制约关系,没有考虑食饵和没有考虑食饵和捕食者自身的捕食者自身的阻滞阻滞作用作用,是最简是最简单的模型单的模型.1基本假设：基本假设：(1)食食饵饵由由于于捕捕食食者者的的存存在在使使增增长长率率降降低低,假假设设降降低低的的程程度度与与捕捕食食者者数数量量成成正比正比;(2)捕捕食食者者由由于于食食饵饵为为它它提提供供食食物物的的作作用用使使其其死死亡亡率率降降低低或或使使之之增增长长，假假定定增增长长的的程程度度与与食食饵饵数数量量成成正比。正比。2符号符号说说明：明：x食食饵饵在在t时时刻的数量；刻的数量；a食食饵饵独立生存独立生存时时的增的增长长率；率；e捕食者掠取食捕食者掠取食饵饵的能力；的能力；f食食饵对饵对捕食者的供养能力捕食者的供养能力.y捕食者捕食者在在t时时刻的数量；刻的数量；b捕食者捕食者独立生存独立生存时时的死亡率；的死亡率；K捕获能力系数捕获能力系数.3.模型模型(一一)不考虑人工捕获不考虑人工捕获4.模型模型(一一)求解求解 利用微分方程的利用微分方程的相关理论相关理论，知原方程组的解是周期解，设，知原方程组的解是周期解，设周期为周期为T，则为了解释问题中的数据，需计算，则为了解释问题中的数据，需计算x、y的平均值：的平均值：5.模型模型(二二)考虑人工捕捞考虑人工捕捞类似可计算类似可计算x、y的平均值：的平均值：K捕获能力系数捕获能力系数.结论结论：增加捕捞后捕食者平均值降低，而：增加捕捞后捕食者平均值降低，而饵食饵食(食用鱼食用鱼)平均值增加；进一步捕捞能平均值增加；进一步捕捞能力系数下降也导致捕食者力系数下降也导致捕食者(鲨鱼等鲨鱼等)数量上数量上升。升。“涸泽而鱼涸泽而鱼”除外除外推广推广：解释杀虫剂的反效果：解释杀虫剂的反效果杀虫剂在杀杀虫剂在杀死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致害虫量的增加。害虫量的增加。用用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t,x=solver(fun,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解由待解方程写方程写成的成的m-文件名文件名ts=t0,tf，t0、tf为为自变量的自变量的初值和终初值和终值值函数的函数的初始值初始值ode23：组合的：组合的2/3阶龙格阶龙格-库塔库塔-芬尔格算法芬尔格算法ode45：运用组合的：运用组合的4/5阶龙格阶龙格-库塔库塔-芬尔格算法芬尔格算法自变自变量值量值函数函数值值用于设定误差限用于设定误差限(缺省时设定相对误差缺省时设定相对误差10-3,绝绝对误差对误差10-6),命令为：命令为：options=odeset(reltol,rt,abstol,at),rt,at：分别为设定的相对误差和绝对误差：分别为设定的相对误差和绝对误差.help ode45/23.首先，建立首先，建立m-文件文件如下：如下：function dx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);其次，建立主程序如下：其次，建立主程序如下：t,x=ode45(shier,0 15,25 2);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*)plot(x(:,1),x(:,2)6.模型检验模型检验求解结果：求解结果：由上两图知：由上两图知：x(t)与与y(t)都是周期函数都是周期函数模型（二）模型（二）考虑人工捕获考虑人工捕获 设设表表示示捕捕获获能能力力的的系系数数为为K，相相当当于于食食饵饵的的自自然然增增长长率率由由a降为降为a-K，捕食者的自然死亡率由，捕食者的自然死亡率由b增为增为 b+K设战前捕获能力系数设战前捕获能力系数K=0.3,战争中降为战争中降为K=0.1,则战前与战争中的模型分别为则战前与战争中的模型分别为:模型求解模型求解:1、分别用、分别用m-文件和定义上述两个方程文件和定义上述两个方程2、建立主程序、建立主程序shark1.m,求解两个方程，并画出两种情况下求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 y(t)/y(t)+y(t)实线为战前的鲨实线为战前的鲨鱼比例，鱼比例，“*”线为线为战争中的鲨鱼比例战争中的鲨鱼比例结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！VolterraVolterra的模型揭示了双种群之间内在的互相制约关系，的模型揭示了双种群之间内在的互相制约关系，成功解释了成功解释了DAnconaDAncona发现的现象。然而，对捕食系统中存在周发现的现象。然而，对捕食系统中存在周期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的捕食系统并没有这种特征。捕食系统并没有这种特征。一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食系统除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数系统除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数学模型上也应当有所区别。考察较为一般的双种群系统学模型上也应当有所区别。考察较为一般的双种群系统.推广：较一般的双种群生态系统讨论推广：较一般的双种群生态系统讨论一般的双种群系统一般的双种群系统仍用仍用x1(t)和和x2(t)记记t时刻的种群量时刻的种群量(也可以是种群密度也可以是种群密度),设设 Ki为种群为种群i的净相对增长率的净相对增长率,Ki随种群不同而不同，同时也随随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同，即系统状态的不同而不同，即Ki应为应为x1、x2的函数。的函数。Ki究究竟竟是是一一个个怎怎样样的的函函数数,我我们们没没有有更更多多的的信信息息.不不妨妨再再次次采采用用一一下下工工程程师师们们的的原原则则,采采用用线线性性化化方方法法(取取常常数数是是Malthus模模型型,不不实实用用).这这样样,得得到到下下面面的微分方程组的微分方程组:它不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存它不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存在其他关系的种群系统。在其他关系的种群系统。式中式中a1、b2为本种群的亲疏系数为本种群的亲疏系数,a2、b1为两种群间的交叉为两种群间的交叉亲疏系数亲疏系数.a2b10时时,两种群间存在着相互影响两种群间存在着相互影响,此时又可分为此时又可分为以下几类情况以下几类情况:i)a20,b10,共栖系统共栖系统;ii)a20(或或a20,b10),捕食系统捕食系统;iii)a20,b10,竞争系统竞争系统.i)-iii)构成了生态学中三构成了生态学中三个最基本的类型个最基本的类型,种群间较种群间较为复杂的关系可以由这三为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成种基本关系复合而成.模型是否具有周期解模型是否具有周期解 不同的系统具有不同的系数，在未得到这些系数之前先不同的系统具有不同的系数，在未得到这些系数之前先来作一个一般化的讨论。来作一个一般化的讨论。讨论系统的平衡点讨论系统的平衡点:如果系统具有非平凡平衡点如果系统具有非平凡平衡点 应满足应满足均为平凡平衡点。均为平凡平衡点。即：即：若系数满足若系数满足:i)a1b2a2b10,ii)a1b0(ab2)ab2(a1b）则系统不存在周期解！则系统不存在周期解！(无圈定理无圈定理)补充补充差分方程差分方程1.定义定义对一数列对一数列an，把数列中的和前面，把数列中的和前面ai(0in)关联起来的方程叫做关联起来的方程叫做差分方程差分方程,差分方程也叫差分方程也叫递推关系递推关系.差分初值问题差分初值问题例例:在一个平面上有在一个平面上有n个圆两两相交，但任三个圆无公共点个圆两两相交，但任三个圆无公共点.设此设此n个圆将平面分成个圆将平面分成an个区域，试建立关于个区域，试建立关于an的差分方程的差分方程.2.解法解法常系数线性常系数线性差分方程的差分方程的解法解法差分方程的差分方程的特征方程特征方程基于此特征方程，可得到与常系数线性微分方程类似的结论！基于此特征方程，可得到与常系数线性微分方程类似的结论！k阶常系数线性齐次差分方程形如：阶常系数线性齐次差分方程形如：单根、重根、复根、非齐次都类似！单根、重根、复根、非齐次都类似！练习练习：