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第五章第五章 矩阵分析矩阵分析 向量与矩阵的范数 向量与矩阵序列的收敛性 矩阵的导数 矩阵的微分与积分 体的集合，定义1：设是数域上维（数组）向量全 是定义在上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：第一节向量与矩阵的范数第一节向量与矩阵的范数 1）非负性 对中任何向量恒有 并且仅当时，才有 2）齐次性 对 中任意的量 及中任意常数 有 （有时表示为）为一种向量范数。则称此函数3）三角不等式，对任意有 上的例1：对中向量定义 则为上的一种向量范数 表示复数的模 例2：对或上向量定义 则及都是或上的向量范数。证明：1）当时，显然有 2）对向量3）对向量 一般地，对于任何不小于1的正数向量的函数 也构成向量范数，称为向量的P-范数。综上可知确为向量范数。上两例中的是常用的三种向量范数。定义2：设 是数域F上所有矩阵的集合，是定义在 上的一个实值函数，关系还满足如下条件：对 中任意矩阵 及 中任意常数 总有 定理1：设为任意两种向量范数，正的常数使得对一切向量 恒有 例3：设为 维向量，则 则存在（这里不限于P-范数）如果该函数1）非负性 并且仅当时，才有 2）齐次性 3）三角不等式 则称是 上的一种矩阵范数。对（或）上的矩阵定义 则都是（或）上的矩阵范数。例4：对上的矩阵定义则是一种矩阵范数，并且具备乘法相容性。定义3：是数域，是上的方阵范数，如果对任意的 总有 则说方阵范数具有乘法相容性。设 证明：非负性与齐次性显然成立，另两条证明 三角不等式 如下：则称矩阵范数与向量范数是相容的。定义4：如果 阶矩阵 的范数与 维向量的范数对任意 阶矩阵 及任意维向量均有乘法相容性 证得为矩阵范数且具有乘法相容性。则为方阵范数，它具有乘法相容性并且与相容。定理2：设是某种向量范数，对阶矩阵定义 向量范数例如对于上的方阵范数 取 则易见 而 可见方阵范数不具备乘法相容性。是常用的矩阵范数，例5：证明：对 阶复矩阵 有 1）（列模和）2）（行模和）例6：证明对阶复矩阵 有 这里是的奇异值。又称为谱范数。定理3：设是任意两种矩阵范数，则有正实数使对一切矩阵恒有 第二节第二节 向量与矩阵序列的收敛性向量与矩阵序列的收敛性 定义5：设有向量序列如果对数列均收敛且有 则说向量序列 收敛，如记 则称为向量序列的极限，记为 或简记为 如果向量序列不收敛，则称为发散发散。定理4：对向量序列 的充分必要条 其中是任意一种向量范数。件是 成立，证明:1）先对向量范数证明定理有 2）由向量范数等价性，对任一种向量范数 有正实数 使 令取极限即知 定义6：设有矩阵序列如果对 均有 矩阵序列收敛，如令称为的极限。记为或 任何 则说矩阵序列不收敛时称为发散发散。矩阵序列极限的性质 1、若 为数列且 则 特别当为常数时，2、若 则 3、若 则 4、若 且诸及均可逆，则收敛，并且 定理5：对于矩阵序列 一种矩阵范数有 对任何 第三节第三节 矩阵的导数矩阵的导数 本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数 函数对矩阵的导数 矩阵对矩阵的导数一、函数矩阵对变量的导数 如果矩阵中诸元素都是某实变量 的函数，则称这种矩阵为函数矩阵。它的一般形式是 其中都是实的函数。变量定义7：设函数矩阵 如果对一切正均有 整数 则说当时函数矩阵有极限,叫做的极限,记为定义8:对于函数矩阵 如果所有元素在某点处或在某区间则称在 处或在某区间上可导。上均可导，导数或导函数记为 简记为并规定 其中表示对的一阶导数。矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质：1、若函数矩阵都可导，则它们的和亦并且 可导，2、若可导，k为常数，则可导且 3、若可导，则可导，并且 4、若可导，是 的可导函数，则可导，且 5、若可导且二者可乘，则亦可导，且 推论：若可导，为数字矩阵，则 6、若为可逆的可导函数矩阵，则亦可导，且 例1：设为 阶可导函数矩阵，求的一、二阶导数。解：例2：设 均为其中的可导函数，为阶实对称矩阵，求二次型对 的导数。解：又 为数字矩阵，又为 的函数，而有 所以 二、函数对矩阵的导数 定义9：设为多元实变量矩阵，是以变量的多元函数，并且偏导数都存在，则定义函数对矩阵的导数为 中诸元素为特别，当为向量时，函数对之导数为 例3：设 求 解：对矩阵三、矩阵对矩阵的导数 定义10：设矩阵中每一个元素都是矩阵中各元素的函数，当对 中各元素都可导时，则称矩阵可导，且规定对的导数为 其中 是一个矩阵。例4：设求 解：则这里元素是1，其余元素都是0的矩阵。例5：设 其中 如果都存在，对可导且 第四节 矩阵的微分与积分 v定义11:当函数矩阵 可导时,其微分v性质:,v ,(为常数),(可微)v定义12:如果函数矩阵 中各元素v 均对 可积,则称v 可积,且 的不定积分和定积分分别为:v性质:v ,(为常数),v ,等等.v例1:设 ,求 v及 .