《稳定性分析》PPT课件.ppt

h(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%动态性能指标定义动态性能指标定义1h(t)t调节时间调节时间tsh(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间ts欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算d=n1-2(s)=s2+2ns+n2n2S1,2=-nj1-2 nh(t)=11-21e-ntsin(dt+)n-nj00 1时：时：-d得得 tr=令令h(t)=1取其解中的最小值，取其解中的最小值，令令h(t)一阶导数一阶导数=0，取其解中的最小值，取其解中的最小值，得得 tp=d由由%=h()h(tp)h()100%（0 0.8）由包络线求调节时间由包络线求调节时间eh(t)=11-21-ntsin(t+d)得得%=e-100%典型例题 例例3-1 系统结构图如下图所示,若要求具有性能指标%=20%,tp=1s,试确定系统的参数k和,并计算单位阶跃响应的特征量td,tr和ts.例例3-2 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图所示，试确定其传递函数，并计算tr和ts.例例3-3 已知图(a)系统的阶跃响应曲线如图(b)所示，试求系统参数k1,k2和.例例3-4 已知系统的单位阶跃响应为 c(t)=1+e-t-2e-2t,(t0)试求系统的传函，并确定系统的阻尼比，自然振荡频率wn，且在零初始条件下，求系统的单位阶跃响应的超调量%和调节时间ts.(取=5%)0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0从从0到到1变化时的单位阶跃响应曲线变化时的单位阶跃响应曲线如下图：如下图：=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.03.4 高阶系统的暂态响应 用部分分式展开得 单位阶跃响应为 3.4 高阶系统的暂态响应 结论（1）高阶系统的单位阶跃响应由两部分组成:稳态分量,与时间t无关，余下的部分为动态分量，与时间t有关。（2）若极点在左半S平面，则对应的响应分量是收敛的。（3）系统闭环极点的实部越小，即在S平面左侧离虚轴越近，则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大。反之，系统闭环极点的实部越大（4）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在S平面中的位置有关，并且与零点的位置有关。3.4 高阶系统的暂态响应 如果某极点-pj靠近一个闭环零点，远离原点及其它极点，则相应项的系数Aj比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果极点和零点靠得很近（称为偶极子），则该极点对暂态响应几乎没有影响。如果某极点-pj远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应的系数Aj将比较大。因此离原点很近并且附近没有闭环零点的极点，其暂态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统暂态响应的影响很大。3.4 高阶系统的暂态响应（3）主导极点:(i)如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部小于其它极点的实部的1/5;(ii)附近不存在零点，可以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。事实上取1/8或1/10.如果找到一对共轭复数主导极点，那么，高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并可以用二阶系统的暂态性能指标来估计系统的暂态特性。在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶系统的指标来设计系统。3.3.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析-0.75-5 p2 p3 p1 j j1.2-j1.20(a)闭环极点分布图闭环极点分布图(b)单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线 c(t)t特点：特点：1)高阶系统时间响应由简单函数组成。高阶系统时间响应由简单函数组成。2)如果闭环极点如果闭环极点都具有都具有负实部，高阶系统是稳定的。负实部，高阶系统是稳定的。3)时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。零点有关。分析方法：分析方法：1)可由系统主导极点估算高阶系统性能。可由系统主导极点估算高阶系统性能。2)忽略偶极子的影响。忽略偶极子的影响。设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若相当于给系统加了一扰动信号。若 ，则系统稳定。，则系统稳定。3.4 稳定性分析稳定性分析 j 0稳定区域稳定区域不稳定区域不稳定区域S平面平面判别系统稳定性的基本方法：判别系统稳定性的基本方法：(1)劳斯劳斯古尔维茨判据古尔维茨判据 (2)根轨迹法根轨迹法 (3)奈奎斯特判据奈奎斯特判据 (4)李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 线性系统稳定的充分必要条件：线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根闭环系统特征方程的所有根都具有负实部都具有负实部.线性系统的稳定性概念线性系统的稳定性概念 系统工作在平衡状态系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。劳斯判据劳斯判据 系统的特征方程式的标准形式：劳斯表(Routh Array)劳斯判据采用表格形式，即劳斯判据采用表格形式，即劳斯表劳斯表：当劳斯表中第一列的所有数都当劳斯表中第一列的所有数都大于零大于零时，系统时，系统稳定稳定；反之，如；反之，如果第一列出现果第一列出现小于零小于零的数时，系统就的数时，系统就不稳定不稳定。第一列各系数符号。第一列各系数符号的改变的改变次数次数，代表系统不稳定根的数目，也就是系统正实部根的，代表系统不稳定根的数目，也就是系统正实部根的个数个数。劳斯判据劳斯判据劳斯判据：劳斯判据：系系统统特特征征方方程程的的全全部部根根都都在在S S左左半半平平面面的的充充分必要条件是劳斯表的第分必要条件是劳斯表的第1 1列系数全部是正数。列系数全部是正数。方程在方程在S S右半平面根的个数等于劳斯表中第右半平面根的个数等于劳斯表中第1 1列各元改变符号的次数。列各元改变符号的次数。判别系统稳定性。判别系统稳定性。例例 设系统特征方程为设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据试用劳斯稳定判据123450 0注意两种特殊情况的处理：注意两种特殊情况的处理：1）某某行行的的第第一一列列项项为为0，而而其其余余各各项项不不为为0或或不不全全为为0。用用很小的正数很小的正数 代替零元素，然后代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。对新特征方程应用劳斯判据。2）当劳斯表中）当劳斯表中出现全零行出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。解：解：列出劳斯表列出劳斯表第一列数据不同号，第一列数据不同号，系统不稳定性。系统不稳定性。设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82 41 2特殊情况特殊情况1劳斯表介绍劳斯表介绍劳斯表特点劳斯表特点4 每两行个数相等每两行个数相等1 右移一位降两阶右移一位降两阶2 行列式第一列不动行列式第一列不动3 次对角线减主对角线次对角线减主对角线5 分母总是上一行第一个元素分母总是上一行第一个元素7 第一列出现零元素时，第一列出现零元素时，用正无穷小量用正无穷小量代替。代替。6 一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数2+87-8(2 +8)-7271 2 7-8如如果果上上面面一一行行的的第第一一列列和和下下面面一一行行的的第第一一列列符符号号相同，这表明有一对纯虚根存在。相同，这表明有一对纯虚根存在。例例3-6 3-6 系统的特征方程如下系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：列劳斯表解：列劳斯表第第1 1列各元中的上面和下面的系数列各元中的上面和下面的系数符号符号不变不变，故有一对纯虚根，系统不稳定故有一对纯虚根，系统不稳定，（临界稳定状态）。（临界稳定状态）。将特征方程式分解，有将特征方程式分解，有解得根为解得根为 劳斯判据劳斯判据系统稳定的系统稳定的必要必要条件条件:有正有负一定不稳定有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定缺项一定不稳定!系统稳定的系统稳定的充分充分条件条件:劳斯表第一列元素劳斯表第一列元素不变号不变号!若变号系统不稳定若变号系统不稳定!变号的变号的次数次数为特征根在为特征根在S右右半平面的半平面的个数个数!特征方程各项系数特征方程各项系数均大于零均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？稳定吗？特殊情况特殊情况2劳斯表出现零行劳斯表出现零行设系统特征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称的根?由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程:s2+1=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表继续计算劳斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!由综合除法可得另两由综合除法可得另两个根为个根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根:s1,2=j劳斯表出现零行劳斯表出现零行系统系统一定一定不稳定不稳定 出现了全零行出现了全零行辅助方程的解就是原特征方程的部分特 征根,这部分特征根对称于原点.判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。例例 设系统特征方程为设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据；试用劳斯稳定判据 例例 设系统特征方程为设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。稳定判据判断系统的稳定性。解：解：列出劳斯表列出劳斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代取代0)2 s1 2-4/s0 2 可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。（或特征方程有两个正实部根）右半平面上有两个极点。（或特征方程有两个正实部根）解：解：列出劳斯表列出劳斯表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 辅助多项式辅助多项式A(s)的系数的系数 s3 0 0 0 A(s)=2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s 第一列元素全为正，没有变号，所以在第一列元素全为正，没有变号，所以在S右半平面没有极点右半平面没有极点 出现全零行，存在有共轭纯虚根出现全零行，存在有共轭纯虚根 综合可见，系统处于临界稳定状态（属于不稳定的范畴）。综合可见，系统处于临界稳定状态（属于不稳定的范畴）。解辅助方程可得共轭纯虚根：令解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y，A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dA(s)/ds的系数的系数 s2 4 4 s1 8 s0 4 误差定义误差定义G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)输输入入端定义：端定义：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)典型输入下的稳态误差与静态误差系数典型输入下的稳态误差与静态误差系数G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)E(s)=R(s)1+G(s)H(s)1若系统稳定若系统稳定,则可用终值定理求则可用终值定理求essess=lim s1+ksG0H0R(s)0sR(s)=R/sr(t)=R1(t)ess=1+ksRlim0sr(t)=VtR(s)=V/s2ess=sVlim0sksr(t)=At2/2R(s)=A/s3ess=s2Alim0skskpkvka取不同的取不同的r(t)=R1(t)ess=1+ksRlim0sr(t)=Vtess=sVlim0sksr(t)=At2/2ess=s2Alim0sks型型0型型型型R1(t)R1+kV kVt000A kAt2/2R1(t)VtAt2/2kkk000静态误差系数静态误差系数稳态误差稳态误差小结：小结：123Kp=?Kv=?Ka=?非单位反馈怎么办？非单位反馈怎么办？啥时能用表格？啥时能用表格？表中误差为无穷时系统还稳定吗表中误差为无穷时系统还稳定吗?