《函数与方程》PPT课件.ppt

方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点（1 1）讨论：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图.方程方程x2 2-2-2x-3=0-3=0与函数与函数y=x2 2-2-2x-3-3xyO3 3-2-2-1-1-1-11 1 2 21 12 2-3-3-4-4图图3.1-1(1)3.1-1(1)可以看出，方程x2-2x-3=0有两个实根x1=-1,x2=3；函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点 (-1,0),(3,0).这样，方程x2-2x-3=0的两个实数根就是函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标.方程方程x2 2-2-2x+1=0+1=0与函数与函数y=x2 2-2-2x+1+1xyO-1-11 1 2 21 12 2图图3.1-1(2)3.1-1(2)可以看出，方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根 x1=x2=1；函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一的交点(1,0).这样，方程x2-2x+1=0的实数根就是函数y=x2-2x+1的图象与x轴交点的横坐标.方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3图3.1-1(3)xyO35-11 21234 方程x2-2x+3=0无实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点.上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及其相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)也成立.设判别式=b2-4ac，我们有：（1）当0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)；（2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)；（3）当0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.换言之：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两不同根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个重根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；（3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)无实数根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴没有交点；总之，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点的横坐标.一、函数的零点 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）.显然，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.课堂例题课堂例题例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：解：（1）方程-x2+3x+5=0与函数y=-x2+3x+5图例图例1(1)1(1)xyO3 36 65 5-1-11 1 2 21 12 23 34 45 58 87 74 4-2-2 由图知，相应的二次函数y=-x2+3x+5的图象与x轴有两个交点，所以一元二次方程-x2+3x+5=0有两个不等的实数根.解：（2）方程2x(x-2)=-3与函数y=2x(x-2)+3图例图例1(2)1(2)xyO3 35 5-1-11 1 2 21 12 23 34 4 由图知，相应的二次函数y=2x(x-2)+3的图象与x轴没有交点，所以一元二次方程2x(x-2)=-3没有实数根.课堂练习课堂练习 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：课后作业课后作业 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点（2 2）复习导入复习导入问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？答：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？参与讨论并阅读课本第91页中外历史上的方程求解探究观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间-2,1上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2,4上是否也具有这种特点呢？xyO3 3-2-2-1-1-1-11 1 2 21 12 2-3-3-4-4图图新课新课 经过讨论，可以发现：f(-2)f(1)0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2,1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3，它是方程x2-2x-3=0的另一个根.课堂练习课堂练习 画出二次函数f(x)=-x2-x+2的图象，观察函数f(x)=-x2-x+2在区间-5,0上是否有零点.计算f(-5)与f(0)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间0,4上是否也具有这种特点呢？图图xyO3 33 3-1-1-1-11 1 2 21 12 24 4-3-3-2-2-4-4-5-5 经过讨论，可以发现：f(-5)f(0)0，函数f(x)=-x2-x+2在区间(-5,0)内有零点x=-2，它是方程-x2-x+2=0的一个根.同样地，f(0)f(4)0，函数f(x)=-x2-x+2在区间(0,4)内有零点x=1，它是方程-x2-x+2=0的另一个根.一般地，我们有：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.课堂例题课堂例题例1.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.解：作出x、f(x)的对应值表：x1 12 23 34 45 56 67 78 89 9f(x)-4-4-1.3069-1.30691.09861.09863.338633.338635.60945.60947.79187.79189.94599.945912.079412.079414.197214.1972再作出y=f(x)的图象：图 由以上表格和图象可知，f(2)0，即f(2)f(3)0，f(2)0，即 f(1)f(2)0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点.由于f(x)在定义域R内是减函数，所以，它仅有一个零点.图（2）由以上表格和图象可知，f(3)0，即f(3)f(4)0.说明这个函数在区间(3,4)内有零点.由于f(x)在定义域(2,+)内是增函数，所以，它仅有一个零点.2已知函数f(x)=x3-3x+1，问该函数在区间(-2,-1)内是否有零点？解：因为f(-2)=-10，所以f(-2)f(-1)0，又函数f(x)=x3-3x+1是连续的曲线，所以f(x)在区间(-2,-1)内有零点.课堂小结课堂小结 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.课后作业课后作业 课本第92页习题组第1、2题；课本第112页复习参考题A组第1题.用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解课堂例题课堂例题例1.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.讨论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？新课导入新课导入函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.下面介绍一种求近似解的方法.我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解.1在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点；2用计算器计算f，因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内；3再取区间(2.5,3)中点，用计算器计算f，因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.4重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出 区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值(2,3)(2,3)2.52.5-0.084-0.084(2.5,3)(2.5,3)2.752.750.5120.512(2.5,2.75)(2.5,2.75)2.6252.6250.2150.215(2.5,2.625)(2.5,2.625)2.56252.56250.0660.066(2.5,2.5625)(2.5,2.5625)2.531252.53125-0.009-0.009(2.53125,2.5625)(2.53125,2.5625)2.5468752.5468750.0290.029(2.53125,2.546875)(2.53125,2.546875)2.53906252.53906250.0100.010(2.53125,2.5390625(2.53125,2.5390625)2.535156252.535156250.0010.001表3-2 当精确度为时，由于，所以，我们可将x作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.二分法：对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.二分法的计算步骤 给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：1.确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；2.求区间(a,b)的中点c；3.计算f(c)；二分法的计算步骤 4.判断：(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令b=c（此时零点x0(a,c)）；(3)若f(c)f(b)0，则令a=c（此时零点x0(c,b)）.5.判断：区间长度是否达到精确度？即若|a-b|，则得到零点近似值；否则重复25.说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.阅读课本第93页借助信息技术求方程的近似解.课堂例题课堂例题例1.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度）解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表x0 01 12 23 34 45 56 67 78 8y=2x+3x-7-6-6-2-23 31010212140407575142142273273表3-3再作出函数f(x)=2x+3x-7的图象图 根据所列的对应值表和图象可知，f(1)f(2)0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1，用计算器可算得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5).再取(1,1.5)的中点x2，用计算器可算得f(1.25)-0.87.因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5).同理可得，x0(1.375,1.5)，x0(1.375,1.4375).由于，此时，区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到的近似值都是1.4.所以，原方程精确到的近似解为1.4.例2.求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（误差不超过0.1).解：原方程即2x3+3x-3=0，令f(x)=2x3+3x-3，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x3+3x-3的对应值表x-2-2-1-10 01 12 23 34 45 56 6y=2x3+3x-3-22-22-8-8-3-32 21919 6060 137137 262262447447表3-3再作出函数再作出函数f(x)=2)=2x3 3+3+3x-3-3的图象的图象图图xyO2 21 1-1-11 1-8-8-2-24 43 32 2-5-5-4-4-6-6-7-7-1-1-2-2-3-3 根据所列的对应值表和图象可知，f(0)f(1)0，说明这个函数在区间(0,1)内有零点x0.取区间(0,1)的中点x1，用计算器可算得f(0.5)=-1.25.因为f(0.5)f(1)0，所以x0(0.5,1).再取(0.5,1)的中点x2，用计算器可算得f(0.75)0.09.因为f(0.5)f(0.75)0，所以x0(0.5,0.75).同理可得，x0(0.625,0.75)，x0(0.6875,0.75)，x0(0.71875,0.75)，x0(0.734375,0.75)，x0(0.734375,0.7421875).由于，此时，区间(0.734375,0.7421875)的两个端点精确到的近似值都是0.7.所以，原方程精确到的近似解为0.7.课堂练习课堂练习 1.借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)=x3x2x在区间(0,1)内的零点(精确度0.1).2.借助计算器或计算机，用二分法求函数x=3-lgx在区间(2,3)内的近似解(精确度0.1).课堂小结课堂小结 1二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是：如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续不断，且f(a)f(b)0，那么一定存在c(a,b)，使得f(c)=0.2二分法的实施要点是什么？二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间a,b平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，通过n次的平分、判断，使零点存在于一个长度 的小区间.当n适当大时，l满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值.课后作业课后作业 课本第92页习题组3、4、5题；课本第92页习题组1、2、3题