计算机控制系统电子教案单元设计 (6).doc

第6章 计算机控制系统连续域离散化设计方法从本章开始，我们将系统地介绍典型计算机控制系统的一些常用的基本设计方法以及新近发展的计算机模型预测控制算法及其设计。计算机控制系统设计通常是指，在已经确定的反馈控制系统结构情况下，按照所要求的系统性能指标和被控对象特性和数学模型，设计出数字控制器使控制系统达到预先要求的性能指标。按照各种设计方法所采用的理论和系统模型的形式，可以大致分为:连续域离散化设计法、离散域直接设计法（或Z域设计方法）和状态空间设计法。连续域离散化设计是先在连续域（S平面）完成分析、设计，得到满足性能指标的连续控制系统，然后再离散化，得到与连续系统指标相接近的计算机控制系统。本章将着重阐述连续域离散化设计的基本原理和各种离散化方法及其使用场合。同时本章还对目前使用广泛的PID调节器的离散化方法、PID数字调节器的改进以及该调节器的参数整定方法进行详细讨论。6.1 连续域离散化设计的基本原理 首先，我们从图6.1所示连续系统开始讨论。图6.1 连续控制系统 图6.1中的为连续系统满足系统性能指标的控制器传递函数。现在我们的目的就是将连续传递函数离散为脉冲传递函数（或称Z传递函数），这样，就得到图6.2所示的计算机控制系统。图6.2 计算机控制系统图6.2中，为计算机作为控制器的脉冲传递函数，为零阶保持器传递函数，为被控对象传递函数，称为广义被控对象的传递函数。 将连续控制器转变为离散控制器的过程分4个步骤进行：图6.3 引入保持器的连续控制系统 在设计连续控制器时，把对系统有不利影响的因素考虑进去，即将引起时间滞后的零阶保持器加入连续系统，设计控制器，检查系统性能指标。如果不满足，修改。具有零阶保持器的连续系统如图6.3所示。在连续域中，处理纯滞后环节是困难的，一般将保持器的传递函数用Pade表达式近似表示成有理式。对于零阶保持器来说，一般可以表示成为一阶有理式或二阶有理式或 （6.1） 将转换成，下节将讨论7种转换方法。 控制器转换后的系统为离散控制系统，如图6.4所示。检验系统的性能指标。 将转换成数值算法。 图6.4控制器转换后的离散系统6.2 连续控制器的离散化方法 当前有许多将连续控制器离散化的方法，并且新的方法正在产生。本节通过一个简单的模拟滤波器离散化，重点研究几种方法。图6.5 模拟滤波器 现在来研究图6.5所示模拟滤波器。 该滤波器的传递函数为 （6.2）式（6.2）中的。它的等效离散滤波器可以直接由式（6.2）所给出的传递函数推出，或者由描述滤波器的微分方程 （6.3）推导出来。现在我们就从方程（6.3）入手研究它的离散化问题。方程（6.3）用于描述模拟滤波器的动态特性，本节的内容就是推导出一个差分方程，它的解近似微分方程的解。一旦得出差分方程，求出等效离散滤波器就很简单了。为了评价离散滤波器的性能，不仅要看它的脉冲响应的逼真度，而且还要考察它的频率响应逼真度。 以下为几种主要的离散化方法： 后向差分法（数值积分法）； 前向差分法（数值积分法）。这种方法可能得出一个不稳定的离散滤波器，因而实际中是不采用的； 双线性变换法（基于梯形积分规则的数值积分法）； 具有频率预畸的双线性变换法（双线性变换法的改进型）； 脉冲响应不变法（Z变换法）； 阶跃响应不变法（具有采样保持器的脉冲响应不变法）； 零、极点匹配映射法。对于一个已知的模拟滤波器，每种方法都会得出一个不同的离散滤波器。6.2.1 后向差分法 方程（6.3）可以写成如下形式： （6.4）对（6.4）方程两边从0到积分 若我们要求出在每个采样周期T时刻的值，则用代替上式中的，则有即 （6.5）类似地，把变为，则得到 （6.6）方程（6.5）减去方程（6.6），则有 （6.7）方程（6.7）的右边两项表示由采样时刻到一个采样周期内、的积分，当然可以用各种方法进行数值积分计算。 采用后向差分方法进行积分就是用、分别来近似、的积分面积，见图6.6。这样方程（6.7）就可以写成如下形式： 图6.6 后向差分的面积近似 （6.8）方程（6.8）的Z变换为由上式可以得出 （6.9）将方程（6.9）同方程（6.2）进行比较，我们发现，如果令方程（6.2）中的 （6.10）则这两个方程的右边相等。在使用后向差分法将模拟滤波器离散化时，方程（6.10）即是S平面到Z平面的映射 （6.11） 我们注意到，在微分方程（6.4）中，如果令，而近似为，则方程（6.4）就为上式与（6.8）是一样的。S平面的稳定域可以通过方程（6.10）映射到Z平面。因为S平面的稳定域为，参考（6.10），我们可以写出Z平面的稳定域为为正数，将z写成，上式可以写成即上式可以写成 图6.7 后向差分法S平面映射到Z平面由上式可以看出，S平面的稳定域映射到Z平面上以为圆心，为半径的圆内，如图6.7所示。 后向差分变换方法的主要特点是： 变换计算简单； 由图6.7看出，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果稳定，则变换后的也是稳定的； 离散滤波器的过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定的失真，需要较小的采样周期T。6.2.2 前向差分法 图6.8 用前向差分的近似方法 采用前向差分法时，用、分别近似积分面积 及 见图6.8。方程（6.7）可以写成即上式的Z变换为则滤波器的脉冲传递函数为 （6.12）将方程（6.12）同方程（6.2）比较，则有 （6.13） 使用前向差分方法时，有个严重问题是，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆外。因为令，则上式可以写成 因为,则有 即 ,见图6.9。 由此，得出前向差分法变换的特点： 图6.9 前向差分法S左半平面映射到Z平面S平面左半平面的极点可能映射到Z平面单位圆外。因而，用这种方法所得到的离散滤波器可能是不稳定的，实际应用中是不采用这种方法的。6.2.3 双线性变换法 双线性变换法也叫做梯形积分法，或称作突斯汀（Tustin）变换法。使用这种方法时，用及分别近似 和 积分面积，参看图6.10。这种积分法是假设两个相邻采样点间函数是线性的。根据上面的关系，方程（6.7）可以写成如下形式： （6.14） 图6.10 采用双线性变换法面积近似方程（6.14）的Z变换为即 （6.15）将方程（6.15）同方程（6.2）比较，可以看出，如果令 （6.16）则 （6.17）方程（6.17）称作双线性变换。我们还可以将式（6.16）看作采用双线性变换时由S平面到Z平面的映射。应当注意到，双线性变换使的极、零点数目相同，且离散滤波器的阶数（即离散滤波器的极点数）与原连续滤波器的阶数相同。 由方程（6.16），S平面的左半平面映射到Z平面时，其关系如下：因为，上面的不等式可以简化为令，则上式为即 这相应于Z平面单位圆内部。因此，双线性变换将S平面上整个左半平面映射到Z平面上以原点为圆心的单位圆内部（这是Z平面上的稳定区）。这和的映射是一样的，但是离散滤波器的过渡响应及频率响应特性有显著的不同。 双线性变换的特点是： 如果稳定，则相应的也稳定；不稳定，则相应的也不稳定。 所得的频率响应在低频段与的频率响应相近，而在高频段相对于的频率响应有严重畸变。例6.1用双线性变换法将模拟积分控制器离散化为数字积分控制器。解 由式（6.17），得数字控制器的脉冲传递函数为上式可以写成由上式可以得出相应的差分方程式中，分别为时刻的输出量和输入量。6.2.4 具有频率预畸的双线性变换 现在我们来考察双线性变换的定义式（6.16）的频率特性。的频率特性用来求，而的频率特性用来求。为了比较和频率响应，我们首先利用代换 和代入方程（6.16）,则有 由上式得出与之间的关系 （6.18）式（6.18）给出了衡量双线性变换频率失真的途径。利用方程（6.18）我们可以将和联系起来： （6.19）方程（6.19）表明，当时，和相等。根据方程（6.18）画出与之间的关系，见图6.11。模拟频率与双线性变换后的频率之间是正切关系，这种关系造成了频率的非线性畸变。只有在很小时，方程（6.18）简 图6.11 与之间的关系化为：这就意味着，频率较低时（同比较，为采样频率），与之间近似线性关系。离散滤波器的低频特性与原连续滤波器的低频特性是近似一样的，即比较小时，双线性变换频率失真小。而当频率接近（因为）时，则连续滤波器的频率快速地增大到无穷大。因而当频率接近时，频率失真就严重。采用频率预畸的方法，可以在感兴趣的频率范围内减小频率失真。 所谓频率预畸，就是在将连续滤波器离散化之前，将其感兴趣的频率进行修正，然后再用双线性变换法将修正后的连续滤波器离散化。例如，将转角频率（幅值为-3db）修正到一个新的值，然后再离散化，那么，域的-3db点就是所希望的频率点。 频率预畸双线性变换的特点是： 将S平面映射到Z平面的单位圆内； 若稳定，变换后，则稳定； 产生频率失真； 修正稳态放大增益，使其等于的稳态增益。 1. 低通滤波器 现在我们来研究低通滤波器 （6.20） 在将其离散化之前，先进行频率修正。连续滤波器的转折频率为，用代替，则有 对这个修正后的滤波器进行双线性变换 （6.21） 计算待定增益，使得和的低频增益相等，对于低通滤波器来说，即，则因此，则 将代入（6.21），得出 （6.22） 式（6.22）则为的离散滤波器。 2. 高通滤波器 类似地，对于高通滤波器用代替，代替，则有 （6.23）对于高通滤波器来说，应使和的高频增益相等，即，则有所以 （6.24）方程（6.24）即为高通滤波器的离散滤波器。 例 6.2 已知连续控制器，使用频率预畸双线性变换法将离散化为，取T=0.05sec,按低通特性要求。解 对作频率预畸 作双线性变换 计算待定增益，按低通特性要求，即 ，得出 所以 例 6.3 设二阶连续滤波器的传递函数为试用频率预畸双线性变换求出等效的离散滤波器（设T=0.1sec）。 解 将二阶连续滤波器写成标准形式由此得出， 写出频率预畸连续滤波器传递函数 （6.25） 计算待定增益。因为具有低通特性，因此因此 ，则 将值代入（6.25），得出6.2.5 脉冲响应不变法所谓脉冲响应不变法就是将连续滤波器离散得到离散滤波器后，它的脉冲响应与连续滤波器的脉冲响应在各采样时刻的值是相等的。即因此，脉冲响应不变法保持了脉冲响应的形状 (6.26)Z变换的映射关系是多值的对应关系，所以，如果连续滤波器不是有限带宽时，容易出现混叠现象，这就导致不能保持与有相同频率特性的主要原因之一。有两种方法可以避免频率混叠。第一种方法，在采样器前面串联一个低通滤波器，滤去高频成分；第二种方法是使用足够高的采样频率。这两种方法都有某种缺点，这两种方法都有某种缺点，采用低通滤波器增加闭环时间滞后，时间滞后减小系统稳定余量。采样频率过高有时硬件难以实现，有可能花费过高。因此，脉冲响应不变法只适用于有强烈滤波作用的有限带宽的连续滤波器的离散化。 因为Z变换法总是将S平面的稳定区映射到Z平面的稳定区，因而，如果是稳定的，则用Z变换法离散后得到的仍然是稳定的。 还应该指出，当是一个复杂的函数时，其Z变换很可能无法在一般的Z变换表中查到，这时就需要进行部分分式展开。另外的增益随T的变化而变化，当T很小时，的增益应予以纠正。 Z变换法的特点是： 和有相同的单位脉冲响应序列； 若稳定，则也稳定；存在着频率失真； 该方法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。6.2.6阶跃响应不变法 所谓阶跃响应不变法就是将连续滤波器离散后得到的离散滤波器，它的阶跃响应与原连续滤波器的阶跃响应在各采样时刻的值是相等的。用阶跃响应不变法离散后得到的离散滤波器，则有 式中表示的阶跃响应，而表示的阶跃响应。取上式的Z变换，得到即 上式可以写成如下形式 （6.27） 图6.12 带假想的采样保持器的这个方程的右边可以看作前面加了一个采样器和零阶保持器。因而，我们可以假设一个连续信号供给一个假想的采样保持装置，如图6.12所示。必须指出，这里的采样保持器是一个虚拟的数学模型，而不是实际硬件。由于这种方法加入了零阶保持器，对变换所得的离散滤波器会带来相移，当采样频率较低时，应进行补偿。零阶保持器的加入，虽然保持了阶跃响应和稳态增益不变的特性，但未从根本上改变Z变换的性质。阶跃响应不变法的特点如下： 若稳定，则相应的也稳定；和的阶跃响应序列相同；不能保证的脉冲和频率响应。6.2.7 匹配零、极点映射法粗略地讲，所谓匹配零、极点映射法就是对传递函数的分子、分母分别加以研究，并把的极点映射到离散滤波器的极点，把的零点映射到的零点。我们来看连续滤波器它的Z变换为注意到，如果我们只看的分母，那么的极点和的极点是通过关系式联系起来的。把这个情况加以推广，能使我们获得连续滤波器的等效离散滤波器。没有有限零点，而只有一个无穷远的零点。如果有一个有限零点，那么我们就简单地假设等效离散滤波器有一个有限零点。对于无穷远零点来说，我们假设有一个的零点与之对应。理由如下： 图6.13 S平面与Z平面之间的关系为了讲解方便，我们将第5章图5.1S平面与Z平面之间的关系图重绘于此，如图6.13所示。参看图6.13，首先我们注意到，S平面上的轴，当到（为采样频率），映射到Z平面由到的单位圆上。如果我们选择采样频率满足采样定理，那么（不是）就可以认为是可能最高的频率。因为是一个低通滤波器，那我们就可以说，当接近时，接近零（严格地说，当接近时，接近零）。这就等于说的等效滤波器当z接近-1时，接近零（点相应于S平面上最高频率点）。这就是为什么把连续滤波器无穷远点放到的原因。注意到，离散滤波器对于的频率响应相当于连续滤波器对于的频率响应。因而，匹配零、极点映射法不产生混叠现象。这种变换方法保持了频率响应的一般形式。匹配零、极点映射法的一般步骤如下： 首先，变换前，须成因式形式。按关系，将的极点映射到Z平面上的极点。例如的一个极点为,则映射到Z平面上的极点为。 按照的关系，将的有限零点映射到Z平面上的零点。这就是说，若的有限零点，映射到的零点。 无穷远的零点映射到。这样，对于每一个无穷远的零点，则离散脉冲传递函数的分子就有一个的因子。通常，连续传递函数的极点数多于零点数,所以可认为连续传递函数在无穷远处有个零点，离散脉冲传递函数的分子中应有个因子。同样地，如果有无穷远的极点，映射成Z平面的分母中的因子。 调整离散滤波器的增益与连续滤波器的增益一致。对于低通滤波器来说，离散滤波器在时的增益应该与连续滤波器在处的增益相等。对于高通滤波器来说和的增益应匹配。如果含有共轭复数零、极点，最好把它们当作一个整体对待。现在我们用匹配零、极点映射法来求低通滤波器的等效离散滤波器。 首先，无有限零点，有一个无穷远的零点，这个零点映射到。有限极点映射到离散极点，则有式中为调整增益。对于低通滤波器来说，要求，即由上式解出值，为因而 例 6.4 研究下列连续滤波器我们感兴趣的是低频范围，试用匹配零、极点映射法求其等效离散滤波器。解 的零点映射到，极点映射到。因此，等效离散滤波器为式中通过连续滤波器与离散滤波器在低频段的增益相等的关系求出得出 则等效离散滤波器为 例 6.5 研究下列高通滤波器试用匹配零、极点映射法求其等效离散滤波器。解 的零点映射到，极点映射到。因此，等效离散滤波器为式中通过连续滤波器与离散滤波器在高频段的增益相等的关系求出得出 则等效离散滤波器为 例 6.6 研究下列连续滤波器这里，我们感兴趣的是低频段。试用匹配零、极点映射法求其等效离散滤波器。 解 有一个有限零点，映射到。有一个无穷远极点，映射到。因此，等效离散滤波器为式中通过连续滤波器与离散滤波器在低频段的增益相等的关系求出得出 则等效离散滤波器为 例 6.7 研究下列连续滤波器试用匹配零、极点映射法求其等效离散滤波器。解 没有有限零点，有两个无穷远零点，映射到，S平面的共轭极点映射到Z平面共轭极点。因而等效离散滤波器为式中通过连续滤波器与离散滤波器在低频段的增益相等的关系求出得出 则等效离散滤波器为小结以上我们研究了七种已知连续滤波器求等效离散滤器的方法（其中前向差分法产生不稳定离散滤波器，因而实际上不用）。 使用的离散化方法不同，采样点之间的响应不同。进一步来说，没有哪一种离散方法完全不失真。任何连续两个采样点之间实际（连续）响应，总是不同于同样两个采样点之间的离散滤波器所发生的响应，不管使用哪种离散化方法。 表6.1总结了对于连续滤波器的七种不同离散化方法。不能说哪一种等效离散方法比另一种方法好，因为过渡响应、频率特性的失真度与采样周期、截止频率、系统最高频率、系统传递滞后等有关。由连续到离散的设计最好是实验几种方法（通过仿真，得出满意的结果）。因为匹配零、极点映射法、双线性变换法、带有频率予畸的双线性变换法都能得出满意的结果，初步设计时，都可以试用这些方法。表 6.1 连续滤波器的等效离散滤波器变换方法变换方程等效离散滤波器后向差分前向差分等效离散滤波器可能不稳定，不推荐。双线性变换带有预畸的双线性变换脉冲响应不变法阶跃响应不变法匹配零、极点映射法的零、极点映射到，无穷远零、极点映射到6.3 数字PID控制器设计PID控制是指由反馈系统偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）的线性组合构成的反馈控制规律。它具有原理简单，直观易懂，易于工业实现，适用面广等优点，多年来它一直是工业过程控制中应用最广泛的一类基本控制律。6.3.1 典型PID控制 典型单回路PID控制如图6.14所示。图6.14 典型单回路PID控制系统理想模拟PID控制器输出方程为 （6.28）式中，为比例系数，即为积分时间常数，为微分时间常数，为积分系数，为微分系数。为PID控制器输出控制量，为PID控制器输入的系统偏差量。 对（6.28）式作拉氏变换，可得理想模拟PID控制器的传递函数 （6.29）图6.15是PID控制器的传递函数结构图。PID控制器中三项控制作用是互相独立的。比例控制的作用是通过加大可以增加系统动态响应速度；积分控制的作用是消除系统稳态偏差；微分控制作用与偏差变化速度成比例，能够预测偏差的变化，产生超前控制作用，以阻止偏差的变化，因而能够改善系统动态性能。 图6.15 PID控制器传递函数结构图工程应用时，可以根据被控对象特性和负荷扰动情况以及控制性能要求，对PID三项控制作用进行组合，构成所需要的控制律，比如：P（比例）控制、PI（比例积分）控制、PD（比例微分）控制以及三项PID控制。 理想PID控制器，因其中包含的理想微分，用模拟控制器难以实现，所以称之为“理想”PlD控制器。而用数字控制器可以通过差分数值运算近似理想微分。用前一节讲的模拟控制器离散化方法，就可以将理想模拟PID控制器离散化为相应的理想数字PID控制器。例如采用后向差分变换法，将（6.29）式离散化，得出 （6.30）式中为采样周期。参看图6.16。图6.16 数字PID控制器现在我们来研究理想数字PID控制器的差分方程表达式。将描述理想模拟PID控制器的微分方程式（6.28）化为差分方程，即为理想数字PID控制算法。注意，在将微分方程化为相应差分方程时，为了简化，将时刻简记为。采用后向差分变换法，式（6.28）中积分项化为累加和时，累加时刻应由开始（参阅图6.6)，即 （6.31）因为（6.31）式包含的数字积分项，需要存储过去全部偏差量，而且累加运算编程不太方便，计算量也较大，所以在应用中，通常都是将式（6.31）改为增量算法。 （6.32）将（6.31）式减去（6.32）式，得整理上式 （6.33）式中 由此可以得出 （6.34）PID控制算法用微机实现时，为了确保控制的实时性，考虑（6.34）式和（6.33）式，写出如下方程 （6.35）上式可进一步写成实现形式 （6.36）式（6.36）中，称为前台计算，称为后台计算。因为是为下一步计算作准备的。初值，。 PID控制器设计的主要任务是确定、的值，使控制系统达到规定的性能指标。下面我们通过例子来说明数字PID的设计。 图6.17具有数字PID控制器的计算机控制系统 例 6.8 某计算机控制系统如图6.17所示。,采样周期T=0.1sec。分析控制器在不同的形式下，系统对阶跃输入时的响应情况。 解 控制器只有比例项，即，令。 由被控对象的传递函数可知，属于0型系统，且，可以预见，系统对阶跃输入的响应存在有稳态误差。现在分析如下： （6.37）即 （6.38）系统闭环脉冲传递函数 （6.39）其特征方程为特征方程的两个根为因此，系统是稳定的。然而，对于阶跃输入，系统的稳态误差不为零。这可以根据其开环脉冲传递函数在处无极点来判断。 单位阶跃输入时，系统输出，输出的稳态误差采用终值定理计算，即 （6.40）因此，对于单位阶跃输入时，系统稳态误差为。相应曲线示于图6.18（1）。 为了消除系统对阶跃输入时的稳态误差，控制器引入积分项。首先考虑PI控制（）。用PI控制器时，采用双线性变换法系统开环脉冲传递函数为因为和的选择有许多方法。在这里，我们用控制器的零点对消掉被控对象的一个极点。令 当T=0.1sec时，由上式得出 图6.18 数字PID控制的单位阶跃响应 P控制 PI控制 PID控制选，则，因此控制器的脉冲传递函数为校正后，系统开环脉冲传递函数为 （6.41）因为系统开环脉冲传递函数在处有一个极点，所以单位阶跃输入时，闭环系统的稳态误差为零。系统闭环脉冲传递函数为系统输出响应曲线如图6.18（2）所示。 值得注意的是，虽然稳态误差由于PI控制器的作用完全被消除了，但是最大超调量高达45%。这个超调可以用延长上升时间来减小，但最好的办法还是采用PID控制器。 采用PID控制器。PID控制器脉冲传递函数为PID校正后，系统的开环脉冲传递函数为 （6.42）式中，、和必须通过设计确定，其依据是系统性能指标。确定、和需要有三个独立方程。 假设要求系统速度误差常数； PID控制器的两个零点与被控对象的和这两个极点相对消。这些条件给出三个线性无关的等式。利用这三个等式可以解出PID控制器的三参数、和。其中速度误差常数为 （6.43）可见，仅仅受和被控对象参数的影响，而与和无关。因此，当要求时，必须等于1。另外，令控制器的两个零点对消被控对象的两个极点，得到 当和T=0.1sec时，和的值可以由上式求出因此，校正后的系统开环脉冲传递函数为 （6.44）校正后闭环脉冲传递函数为 （6.45）其特征方程的根是 ，系统稳定。系统单位阶跃响应如图6.18(3)所示。显然，增加了微分控制项，不仅仅减小了超调，而且还缩短了上升时间。这时的最大超调量接近4%。 图6.19 PID控制simulink 仿真 注：使用MATLAB中的Simulink 对该系统进行仿真如图6.19所示。仿真图中，控制器在三种方式（P、PI、PID）控制情况下，系统闭环输出为 P控制 （6.46） PI控制 （6.47） PID控制 （6.48）式（6.46）、（6.47）、（6.48）可以通过图6.19 Simulink 仿真，求出 （6.49）6.3.2 数字PID控制器参数的整定本节要讨论的PID参数整定，主要是指简易的工程整定方法，它不需要进行大量的计算，依据现场的实验测试以及技术人员的经验来整定PID参数。 1. 扩充临界比例度法 扩充临界比例度法是基于系统临界振荡的闭环整定方法，这种方法是对模拟调节器中使用的临界比例度法的扩充。下面叙述用来整定数字控制器参数的步骤。 选择一个足够小的采样周期T，一般来说，T小于被控对象纯滞后时间的十分之一以下。 用选择的采样周期T使系统工作。这时，数字控制器去掉积分作用和微分作用，只保留比例作用，形成闭环。给定输入作阶跃变化，并逐渐增大比例系数（即逐渐减小比例度），直到系统发生持续等幅振荡。记录下使系统发生振荡的临界大系数及系统的临界振荡周期。 选择控制度。所谓控制度就是以模拟调节器为基准，衡量同一个系统采用数字控制相对于采用模拟控制的效果。控制效果的评价函数通常采用误差平方面积来表示。 （6.50）因为数字控制系统是断续控制，而模拟控制系统是连续控制，所以，对同一个系统，采用相同的控制规律，数字控制系统的品质总是低于模拟控制系统的品质，因而，控制度总是大于1。控制度越大，相应的数字控制系统品质越差。 实际应用中并不需要计算出两个误差平方面积，控制度仅表示控制效果的物理概念。如控制度为1.05时，表示数字控制系统与模拟控制系统效果相当。从提高数字PID控制系统品质出发，控制度可以选的小一些，但就系统稳定性而言，控制度宜选大一些。 根据选定的控制度，查表6.2并计算参数、以及采样周期T的值。 根据所求得的参数值，运行系统，观察控制效果。如果控制效果不好（如出现振荡现象），可适当加大比例度，即减小比例系数，重复，直到获得满意的控制效果。表6.2 扩充临界比例度法PID参数计算表控制度（Q）控制规律1.05PI0.030.550.88PID0.0140.630.490.141.2PI0.050.490.91PID0.0430.470.470.161.5PI0.140.420.99PID0.090.340.430.202.0PI0.220.361.05PID0.160.270.40.22模拟控制PI0.570.83PID0.700.500.13 2. 扩充响应曲线法 在数字PID控制器参数整定中，也可以采用类似模拟控制器的响应曲线法，称为扩充响应曲线法。应用扩充响应曲线法时，要预先在被控对象响应曲线上求出等效滞后时间及等效惯性时间常数，其步骤如下： 数字控制器不接入控制系统，让系统处于手动操作状态下，给系统加以阶跃给定值。 6.20 被控对象阶跃响应曲线 用记录仪记录被调量在阶跃输入下的整个变化过程曲线，如图6.20所示。 在曲线最大斜率处作切线，求得滞后时间及，计算比值。查表6.3即可得数字控制器的、以及采样周期T的值。表6.3 扩充响应曲线法PID参数计算表控制度（Q）控制规律1.05PI0.100.843.40PID0.051.152.000.451.2PI0.20.783.60PID0.161.001.900.551.5PI0.500.683.90PID0.340.851.620.652.0PI0.800.574.20PID0.600.601.500.82模拟控制PI0.903.30PID1.202.000.403. PID归一参数整定法控制器参数的整定是一项繁琐而又费时的工作，当控制系统中有许多控制回路时，整定参数是十分浩繁的工作。因此，近年来国内外在数字PID控制器参数的整定方面作了大量的研究工作，PID归一参数整定法是一种简易的整定方法。该方法，以扩充临界比例度法为基础，人为规定以下约束条件 （6.51）为临界振荡周期。设PID的增量算式(为了简化写法，式中省去采样周期T)为 （6.52）将（6.51）式代入（6.52）式，得 （6.53）这样，四个参数就简化为一个参数的整定。在线调整，观察控制效果，直到满意为止。6.3.3 PID数字控制器算法的改进 采用数字控制器对系统进行控制，一般说来控制质量不如采用模拟控制器对系统进行控制。这是因为： 模拟调节器进行的控制是连续的，控制作用每时每刻都在进行，而数字控制器在保持器作用下，控制量在一个采样周期内是不变化的。 由于计算机的数值运算和输入输出需要一定的时间，控制作用在时间上有延滞。 计算机的有限字长和A/D、D/A转换器的转换精度使控制有误差。 因此如果单纯地用数字控制器去模仿模拟控制器，并不能获得理想的控制效果。必须发挥计算机运算速度快、逻辑判断功能强、编制程序灵活等优势，建立许多模拟控制器难以实现的特殊控制规律，才能在控制性能上超过模拟控制器。 下面介绍几种常用的PID控制算法的改进措施。 1. 积分分离法在计算机控制系统中，采用积分分离的方法：阶跃信号加入时，被调量开始跟踪，先取消积分作用；当被调量接近给定值时，再加入积分作用。即 当，取消积分作用，使用PD数字控制器； 当，引入积分作用，使用PID数字控制器；积分分离PID的偏差阀值作为控制算法中的一个可调参数，并根据对象特性及控制要求来决定，既不能过大，也不能过小。若过大，则达不到积分分离的目的；若过小，系统由PD控制，系统偏差就有可能无法进入积分区，始终不能启用积分作用，因而，系统将会出现较大的偏差。采用积分分离PID算法以后，控制效果如图6.21所示。由图可见，采用积分分离PID使得系统的性能有了较大的改善。 图6.21 积分分离PID控制效果2. 采用不完全微分数字控制器微分作用有助于控制系统减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定。同时加快系统动作速度，减小调整时间，有利于改善系统的动态性能。但是，微分作用容易引进高频干扰；另外，如果微分的输入变化较大时，其输出幅值就会很大。因此在数字控制器中串接一个低通滤波器（一阶惯性环节）来抑制高频干扰，同时还可以减缓的变化。低通滤波器的传递函数为 （6.54）标准PID控制器传递函数为 （6.55）由式（6.54）和式（6.55）得到不完全微分的PID调节规律为 设 得到不完全PID算式如下 图6.22不完全微分PID控制器 （6.56）其中，为微分增益。不完全PID控制器结构如图6.22所示。 下面分别分析比例、积分、微分部分的算法。 微分部分 由图6.22可知用一阶后向差分法将上式离散化，得出差分方程对于比较小的采样周期（），上式可简化为 （6.57） 积分部分积分部分的输入为微分部分的输出，积分部分的输出为，由此得到用一阶后向差分法将上式离散化，得出差分方程 （6.58） 比例部分比例部分的表达式简单，为微分部分的输出乘以，即比例部分的输出为 （6.59） 不完全微分PID控制器输出由式（6.58）和式（6.59）可以得出 （6.60） 3. 微分先行PID算法 上面所讲的不完全微分PID控制器，是将微分作用部分放在控制回路的前向通道。微分先行PID控