高中数学二次函数、二次方程及二次不等式.pdf
高中数学二次函数、二次方程及二次不等式一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布（一般情况）1、两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K 0 - ab2 0 0 - ab2 k f ( k ) 0一个根正，一个根负，则f(k) 0 f (0) 0 若 |正根 | 较大，则f(0) 02、两个根都在（ k1 , k2 )内两个根有且仅有一个在（ k1 , k2 )内x1(m,n) x2(p,q) 0 k1 - ab2 0 f ( k2 ) 0 f ( k1 )f ( k2 ) 0 f （n) 0 f （p) 0 y x k k k y x k k 1 2 k k 1 2 m n p q 二、二次函数、二次方程及二次不等式的关系1、二次函数的基本性质(1)、二次函数的三种表示法y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n 来源:Z_xx_k.Com(2)、当 a0,f(x)在区间 p,q上的最大值M，最小值m,令 x0=21(p+q)来源 学科网 ZXXK若ab2p,则 f(p)=m,f(q)=M; 若 pab2x0,则 f(ab2)=m,f(q)=M; 若 x0ab2q,则 f(p)=M ,f(ab2)=m; 若ab2q,则 f(p)=M,f(q)=m2、 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件(1)方程 f(x)=0 的两根中一根比r 大，另一根比r 小af(r)0; (2)二次方程f(x)=0 的两根都大于r0)(,2,042rfarabacb来源:Z&xx&k.Com 来源 学 #科# 网 Z#X#X#K(3)二次方程f(x)=0 在区间 (p,q)内有两根;0)(,0)(,2, 042pfaqfaqabpacb(4)二次方程f(x)=0 在区间 (p,q)内只有一根f(p)f(q)0,或 f(p)=0(检验 )或 f(q)=0(检验 )检验另一根若在(p,q)内成 立(5)方程 f(x)=0 两根的一根大于p,另一根小于q(pq)0)(0)(qfapfa3、 二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0 的解集是( ,) ,+)a0 时， f( )f()|+ab2| +ab2|, 当 a0 时， f()|+ab2|; (3)当 a0 时，二次不等式f(x)0 在 p,q恒成立, 0)(,2pfpab或;0)(;2,0)2(,2qfpababfqabp或(4)f(x)0 恒成立. 00,0,00)(;0,0, 0, 0cbaaxfcbaa或恒成立或典型题例示范讲解例1 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c 和 一次函数g(x)= bx，其中a、 b、 c 满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B； 来源 :Zxxk.Com(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影A1B1的长的取值范围命题意图本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力知识依托解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合错解分析由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”技巧与方法利用方程思想巧妙转化(1)证明由bxycbxaxy2消去 y 得 ax2+2bx+c=0 =4b24ac=4(ac)2 4ac=4(a2+ac+c2)=4(a+43)22cc2a+b+c=0,abc,a0,c0, 0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0 的两根为x1和 x2,则 x1+x2=ab2,x1x2=ac|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x22222224444()4()bcbacacacaaaa22134( )14()24cccaaaabc,a+b+c=0,a0,cacc,解得ac (2,21) 1)(4)(2acacacf的对称轴方程是21acac( 2,21)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|(32,3)来源:Z&xx&k.Com例 2 已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1， 2)内，求 m 的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围命题意图本题重点考查方程的根的分布问题知识依托解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点技巧与方法设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制解 (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得65,21,21056)2(,024) 1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf2165m(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0, 0) 1(, 0)0(mff. 01,2121,21,21mmmmm或(这里 0m1 是因为对称轴x=m 应在区间 (0， 1)内通过 ) 例 3 已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非负的，求关于 x 的方程2ax=|a1|+2 的根的取值范围解由条件知 0,即(4a）24(2a+12) 0,23a2 (1)当23 a1 时，原方程化为x=a2+a+6, a2+a+6=(a21)2+425a=23时， xmin=49,a=21时， xmax=42549x425(2)当 1a2 时， x=a2+3a+2=(a+23)241 来源:学| 科|网当 a=1 时， xmin=6,当 a=2 时， xmax=12, 6x12 21-1oyx1oyx综上所述 ,49x12学生巩固练习1 若不等式 (a2)x2+2(a 2)x40),若 f(m)0,则实数 p 的取值范围是_ 4 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2+x)=f(2x),若 f(12x2)0 且 a1) (1)令 t=ax,求 y=f(x)的表达式；(2)若 x(0,2时， y 有最小值8，求 a 和 x 的值6 如果二次函数y=mx2+(m3)x+1 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围7 二次函数f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、 r 满足mrmqmp12=0,其中 m0,求证(1)pf(1mm)0,则 f(0)0,而 f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0 答案 A 3 解析只需 f(1)= 2p23p+90 或 f(1)=2p2+p+10 即 3p23或21p1p(3,23) 答案(3，23）4 解析由 f(2+x)= f(2x)知 x=2 为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|, 2x0 答案 2x0来源 学 科 网 Z,X,X,K5 解 (1）由 loga33logayatt得 logat3=logty3logta由 t=ax知 x=logat，代入上式得x3=xxya3log,logay=x23x+3，即 y=a332xx(x 0) (2)令 u=x2 3x+3=(x23)2+43(x0),则 y=au若 0a 1,要使 y=au有最小值8，则 u=(x23)2+43在(0，2上应有最大值，但u 在(0，2上不存在最大值若 a1,要使 y=au有最小值8，则 u=(x23)2+43,x(0,2应有最小值当 x=23时， umin=43,ymin=43a由43a=8 得 a=16所求 a=16,x=236 解 f(0)=10来源:Z*xx*k.Com(1)当 m0 时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意(2）当 m0 时，则030mm解得 0m1 综上所述， m 的取值范围是m|m1 且 m0 7 证明(1)1()1()1(2rmmqmmppmmpf)2() 1()1()2(2) 1(1)1(22222mmmmmmpmpmpmpmmrmqmpmpm)2()1(122mmpm,由于 f(x)是二次函数，故p0,又 m0,所以， pf(1mm)0 (2)由题意，得f(0)=r,f(1 )=p+q+r当 p0 时，由 (1）知 f(1mm)0 若 r0,则 f(0)0,又 f(1mm)0,所以 f(x)=0 在(0，1mm)内有解 ; 若 r 0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=( mrmp2)+r=mrmp20, 又 f(1mm)0,所以 f(x)=0 在(1mm,1)内有解当 p0 时同理可证8 解 (1）设该厂的月获利为y,y=(1602x)x(500+30 x)=2x2+130 x500 由 y1300 知 2x2+130 x5001300 x265x+9000， (x20)(x45)0，解得 20 x45 当月产量在2045 件之间时，月获利不少于1300 元(2）由 (1）知 y=2x2+130 x500=2(x265)2+16125 x 为正整数， x=32 或 33 时， y 取得最大值为1612 元，来源 学科网 ZXX K当月产量为32 件或 33 件时，可获得最大利润1612 元
