高中数学等差数列教案.pdf
等差数列教学目的：1明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2会解决知道ndaan,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：引入：5，15，25，35，,和 3000，2995，2990，2985，,请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）； （误：每相邻两项的差相等-应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列二、讲解新课：1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 na,若na1na=d (与 n 无关的数或字母 )，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差2等差数列的通项公式：dnaan) 1(1【或nadmnam)(】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列na的首项是1a，公差是 d，则据其定义可得：daa12即：daa12daa23即：dadaa2123daa34即：dadaa3134,由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a和公差 d，便可求得其通项na如数列 1，2，3，4，5，6；nnan1) 1(1（1n6）数列 10，8，6，4，2，,；nnan212) 2() 1(10（n1）数列;, 1 ,54;53,52;51551)1(51nnan（n1）由上述关系还可得：dmaam) 1(1即：dmaam)1(1则：nadna)1(1=dmnadndmamm)() 1() 1(即的第二通项公式nadmnam)( d=nmaanm如：dadadadaa43212345三、例题讲解例 1 求等差数列8，5，2,的第20 项 -401 是不是等差数列-5，-9，-13,的项？如果是，是第几项？解：由35285,81dan=20，得49)3() 120(820a由4)5(9,51da得数列通项公式为：) 1( 45nan由题意可知， 本题是要回答是否存在正整数n，使得)1(45401n成立解之得n=100，即-401 是这个数列的第 100 项例 2 在等差数列na中，已知105a，3112a，求1a, d ,naa,20解法一：105a，3112a，则311110411dada321da53)1(1ndnaan5519120daa解法二：3710317512dddaa5581220daa53)12(12ndnaan小结：第二通项公式dmnaamn)(例 3 将一个等差数列的通项公式输入计算器数列nu中， 设数列的第s项和第 t 项分别为su和tu， 计算tsuuts的值，你能发现什么结论？并证明你的结论解：通过计算发现tsuuts的值恒等于公差证明：设等差数列nu的首项为1u，末项为nu，公差为d，) 2() 1() 1() 1(11dtuudsuuts-得dtsuuts)(dtsuuts小结：这就是第二通项公式的变形，几何特征，直线的斜率例 4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设na表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：1a=33, 12a=110，n=12 daa) 112(112,即 10=33+11d解得：7d因此，,61,54,47740,407335432aaaa,103,96,89,82,75,6811109876aaaaaa答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 例 5 已知数列 na的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定na是不是等差数列，只要看1nnaa（n2）是不是一个与n 无关的常数解：当 n2 时, （取数列na中的任意相邻两项1na与na（n2） ）) 1()(1qnpqpnaannpqppnqpn)(为常数na是等差数列，首项qpa1，公差为 p注：若 p=0，则 na是公差为 0 的等差数列，即为常数列q，q，q，若 p0, 则na是关于 n 的一次式 ,从图象上看 ,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上 ,一次项的系数是公差 ,直线在 y 轴上的截距为q. 数列 na为等差数列的充要条件是其通项na=p n+q (p、q 是常数 )称其为第 3 通项公式判断数列是否是等差数列的方法是否满足3 个通项公式中的一个四、练习：1.（1）求等差数列3，7，11，, 的第4 项与第 10项. 解：根据题意可知：1a=3,d=73=4. 该数列的通项公式为：na=3+（n1） 4,即na=4n1（n1,nN*）4a=441=15, 10a=4101=39. （2）求等差数列10，8，6，, 的第20 项. 解：根据题意可知：1a=10,d=810=2. 该数列的通项公式为：na=10+（n1）（ 2）,即：na=2n+12, 20a=220+12=28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性. （3）100是不是等差数列2，9，16，, 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：根据题意可得：1a=2,d=92=7. 此数列通项公式为：na=2+（n1） 7=7n5. 令 7n5=100,解得： n=15, 100 是这个数列的第15 项. （4） 20 是不是等差数列0， 321， 7，, 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由题意可知：1a=0, d=321此数列的通项公式为：na=27n+27, 令27n+27=20,解得 n=747因为27n+27=20 没有正整数解，所以20 不是这个数列的项. 2.在等差数列 na中， （1）已知4a =10,7a=19,求1a与 d; （2）已知3a=9, 9a=3,求12a. 解： （1）由题意得：19610311dada, 解之得：311da. （2）解法一：由题意可得：389211dada, 解之得1111da该数列的通项公式为：na=11+（n1）（ 1）=12n,12a=0 解法二：由已知得：9a=3a+6d,即： 3=9+6d,d=1 又12a=9a+3d,12a=3+3（ 1）=0. .课时小结五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：na1na=d ， （n2，nN）.其次，要会推导等差数列的通项公式：dnaan) 1(1，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：nadmnam)(和na=p n+q (p、q 是常数 )的理解与应用 .
