高中数学解三角形方法大全.pdf

1 解三角形1解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明，均设ABC的三个内角CBA、的对边分别为cba、，则有以下关系成立：（1）边的关系：cba，bca，acb（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：CBA，CBA、0，BA0，BA，0sin A，CBAsin)sin(，CBAcos)cos(，2cos2sinCBA（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，其中R为ABC的外接圆半径2正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例 1】考查正弦定理的应用（1）ABC中，若60B，42t a nA，2BC，则AC_；（2）ABC中，若30A，2b，1a，则C_；（3）ABC中，若45A，24b，8a，则C_；（4）ABC中，若Acas i n，则cba的最大值为 _。2 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC中，已知 a 、b、A（1）若A为钝角或直角，则当ba时，ABC有唯一解；否则无解。（2）若A为锐角，则当Abasin时，三角形无解；当Abasin时，三角形有唯一解；当baAb sin时，三角形有两解；当ba时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1余弦定理：在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，则有余弦定理：CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222，其变式为：abcbaCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos2222222222余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；3 （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3三角形的面积公式（1）cbaABCchbhahS212121（ah、bh、ch分别表示 a 、b、 c 上的高）；（2）BacAbcCabSABCsin21sin21sin21（3）ABCSCBARsinsinsin22（R为外接圆半径）（4）RabcSABC4；（5）)()(cpbpappSABC其中)(21cbap（6）lrSABC21（r是内切圆的半径，l是三角形的周长）【例】考查余弦定理的基本应用（1）在ABC中，若32a，26b，45C，求BAc、；（ 2）在ABC中，若13a，4b，3c，求边AC上的高h；（ 3）在ABC中，若132a，8b，60A，求 c【例】 （ 1）在ABC中，若7a，8b，1413cos C，则ABC中最大角的余弦值为_ （2） （10 上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为51111131、，则（） A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形（3）以x、43为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为_ 【例】考查正余弦定理的灵活使用（1）在ABC中，若CcAbBasincoscos，其面积)(41222acbS，则B_ （2）在ABC中，若CaAcbcoscos)3(，则Acos_ （3） （07 天津理）在ABC中，若bcba322，BCsin32sin，则A_ 4 （4） （10 江苏）在锐角ABC中，若Cbaabcos6，则BCACtantantantan_ 【例】判断满足下列条件的三角形形状（1）AbBatantan22；（2）BACsincos2sin；（3）cbaBAcoscos；（4）)sin()()sin()(2222BAbaBAba；（5）Cabsin，Baccos板块三：解三角形综合问题【例】 （ 09 全国 2）在ABC中，角CBA、的对边分别为a 、b、 c ，23cos)cos(BCA，acb2，求B【例】 （ 11 西城一模）在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，且54cos B，2b（1）当35a时，求角A的度数；（2）求ABC面积的最大值5 【例】在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Asin的值和ABC的面积【例】在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，已知2c，3C（1）若ABC的面积等于3，求ba、；（2）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积【例 5】 （09 江西理）在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，且sinsintancoscosABCAB，sin()cosBAC（1）求CA、（ 2）若33ABCS，求ca、【例】 （ 09 安徽理）在ABC中，sin()1CA, 31sin B（1）求Asin的值；（2）设6AC，求ABC的面积【例】 （ 10 辽宁理）在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，且CbcBcbAasin)2(sin)2(sin2（1）求A的大小；（2）求CBsinsin的最大值【例】在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、， ，)(43222cbaSABC（1）求C的大小；（2）求BA sinsin的范围6 【例】 （ 11 全国 2）设ABC的内角CBA、的对边分别为cba、，已知90CA，bca2，求C【江西理】在ABC中，角CBA、的对边分别是cba、，已知2sin1cossinCCC（1）求Csin的值；（2）若8)(422baba，求边 c 的值【11 江西文】在ABC中，角CBA、的对边分别是cba、，已知CbBcAacoscoscos3（1）求Acos的值；（2）若332coscosCB，1a，求边 c 的值