第七章常微分方程（知识点）.pdf

第第七七章章 常常微微分分方方程程核核心心知知识识点点一一、基基本本概概念念( 1 ) 微分方程含有未知函数及其导数（或微分）的方程. 若未知函数只含有一个自变量（一般为 ）, 这样的微分方程叫常微分方程.例例：，( 2 ) 微分方程的阶在微分方程中， 所含未知函数导数的最高阶数， 称为微分方程的阶数.( 3 ) 微分方程的解解解：满足微分方程的函数叫做微分方程的解.通通解解：解中包含任意常数，且任意常数个数与方程阶数相同.特特解解：通解中任意常数取某一特定值时的解.( 4 ) 初始条件用来确定通解中任意常数的附加条件.( 5 ) 关于解的结构定理1 . 若是二阶线性齐次方程的解，其任意线性组合（其中为任意常数）也是该方程的解. 函数若满足为常数，称线性相关，否则为线性无关.2 . 若是二阶级线性齐次方程的两个线性无关的解，则就是该方程的通解.3 . 设是二阶线性非齐次方程的特解，是齐次方程的通解，则为的通解.二二、可可分分离离变变量量的的微微分分方方程程1 可分离变量的微分方程形如的微分方程，其中是关于 的函数，是关于的函数.2 可转化成可分离变量的微分方程形如，如令，则可以转化成可分离变量的形式.三三、一一阶阶线线性性微微分分方方程程1 一阶线性微分方程形如的微分方程.当时，称为一阶齐次线性微分方程，否则为一阶非齐次线性微分方程.解解法法：( 1 ) 常数变易法;( 2 ) 公式解一一阶阶微微分分方方程程常常见见类类型型及及解解法法方方程程类类型型方方程程解解法法可可分分离离变变量量的的微微分分方方程程将不同变量分离到方程两边，然后积分：齐齐次次微微分分方方程程，原方程化为可分离变量的方程一一阶阶线线性性微微分分方方程程齐齐次次方方程程分离变量，两边积分或用公式非非齐齐次次方方程程用 常 数 变 易 法 或 公 式 法四四、二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程形如的微分方程，其中.解解法法：写出对应齐次方程的特征方程：( 1 ) 有两个不相等的实根( 2 ) 两个相等的实根( 3 ) 无实根（有一组共轭复根），通解：五五、二二阶阶线线性性常常系系数数非非齐齐次次微微分分方方程程（一）二阶常系数非齐次线性微分方程形如的微分方程，其中.通通解解：，其中对应齐次线性微分方程的通解，是形如的微分方程的特解.（二）求的特解1 .是一个 n 阶多项式函数若，特解是与同阶的多项式，再用比较系数法求解若，设特解为，再用比较系数法；若， 则， 直接对进行两次积分就可以求出特解。2 .（与是同次多项式）当不是方程所对应的齐次方程的特征根时，取；当是方程所对应的齐次方程的单根时，取；当是方程所对应的齐次方程的重根时，取.3 .，不是方程所对应齐次特征方程的特征根时，取；是方程所对应齐次特征方程的特征根时，取.六六、可可降降阶阶的的高高阶阶微微分分方方程程1 .型微分方程解法：积分 n 次，可得通解.2 不显含的型微分方程解法：令，则3 . 不显含自变量 的的型微分方程解法：令做自变量替换，则