2021中考数学考点一遍过考点15 等腰三角形与直角三角形-中考数学考点一遍过.doc

考点15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°2等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半二、等边三角形1定义：三条边都相等的三角形是等边三角形2性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形三、直角三角形与勾股定理1直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形2勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形考向一 等腰三角形的性质1等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴2等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°学-科网3等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）4等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a5等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=180°-2B，B=C=典例1 等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是A35°B20°C35°或20°D无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°，70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°，故选C典例2 如图，等腰三角形ABC中，BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DEBC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是A1B2C3D4【答案】D【名师点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形的内角和定理，由已知的条件利用相关的性质，求得各个角的度数是正确解题的关键.1等腰三角形的周长为15 cm，其中一边长为3 cm则该等腰三角形的腰长为A3 cmB6 cmC3 cm或6 cmD3 cm或9 cm考向二 等腰三角形的判定1等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据2底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形典例3 如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于D，E是AB上的一点，EFAD交CA的延长线于F求证：AEF是等腰三角形学_科网【解析】AB=AC，ADBC，BAD=CAD又ADEF，F=CAD，FEA=BAD，FEA=F，AEF是等腰三角形2已知在ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数（1）求ABC的周长；（2）判断ABC的形状考向三 等边三角形的性质1等边三角形具有等腰三角形的一切性质2等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴3等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合典例4 如图，ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且APD=70°，PAB的度数是A10°B15°C20°D25°【答案】C【解析】因为AD=AP，所以APD=ADP，因为APD=70°，所以ADP=70°，所以PAD=180°-70°-70°=40°，因为BAC=60°，所以PAB=60°-40°=20°，故选C3如图，四边形ABCD是正方形，PAD是等边三角形，则BPC等于A20°B30°C35°D40°考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形典例5 下列推理中，错误的是AA=B=C，ABC是等边三角形BAB=AC，且B=C，ABC是等边三角形CA=60°，B=60°，ABC是等边三角形DAB=AC，B=60°，ABC是等边三角形【答案】B4如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，AON=60°当OP=_时，AOP为等边三角形考向五 直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题典例6 如图，在RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于点D，若B=30°，BD=6，则CD的长为_【答案】3【解析】在RtABC中，C=90°，B=30°，BAC=60°又AD平分BAC，BAD=CAD=30°，BAD=B=30°，AD=BD=6，CD=AD=3，故答案为：35已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为_考向六 勾股定理1应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a22如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解典例7 下列几组数：6，8，10；7，24，25；9，12，15；n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数），其中是勾股数的有A1组B2组C3组D4组【答案】D【解析】62+82=100=102，6、8、10是勾股数；72+242=252，7，24，25是勾股数；92+122=152，9，12，15是勾股数；（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数）是勾股数，故选D【名师点睛】本题考查了勾股数的判断，解题的关键是根据勾股数的定义分别对每一组数进行分析6如图，一圆柱高8 cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是A12 cmB10 cmC8 cmD6 cm 1三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2-c2，则此三角形是A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D等边三角形2如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则A等于A30°B40°C45°D36°3下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是A，B6，7，8C12，25，27D2，2，44如图，在ABC中，AB=AC，B=30°，ADAB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为A8B4C12D65已知ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断ABC为直角三角形的是Aa2+b2=c2BA+B=90°Ca=3，b=4，c=5DABC=3456已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A22B17C17或22D267如图，ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分BAC，则AD的长为A6B5C4D38如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A8个B9个C10个D11个9如图，RtABC中，B=90，AB=9，BC=6，将ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于A5B6C4D310将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A6B3C4D611等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为_12如图，在等边ABC中，点D为BC边上的点，DEBC交AB于E，DFAC于F，则EDF的度数为_学科_网13如图，在ABC中，C=ABC，BEAC，垂足为点E，BDE是等边三角形，若AD=4，则线段BE的长为_14若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为_15如图，在中，D、E分别是BC、AC上一点，且，则_16如图，已知ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则EFD=_°17如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在BCD的平分线上时，CA1的长为_18如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形BCD和ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G求证：CG垂直平分AB19如图，一架2.5 m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7 m（1）求OA的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE=BD，连接DE，过点E作EFDE，交线段BC的延长线于点F（1）求证：CE=CF；（2）若BD=CE，AB=9，求线段DF的长21已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CAAB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=6米（1）试判定ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度1（2018·南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A3，4，5B2，3，4C4，6，7D5，11，122（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为A5 B6C7 D83（2018·湖州）如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC，CAD=20°，则ACE的度数是A20°B35°C40°D70°4（2018·宿迁）若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是A12B10C8D65（2018·绥化）已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为_6（2018·青海）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接AD，若BAC=25°，则BAD=_7（2018·甘孜州）直线上依次有A，B，C，D四个点，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为_8（2018·桂林）如图，在ABC中，A=36°，AB=AC，BD平分ABC，则图中等腰三角形的个数是_9（2018·襄阳）已知CD是ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_10（2018·嘉兴）已知，在中，为的中点，垂足分别为点，且求证：是等边三角形11（2018·广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形（3）画一个面积为5的等腰直角三角形（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形变式拓展1【答案】B【解析】当3 cm是底时，则腰长是（15-3）÷2=6（cm），此时能够组成三角形；当3 cm是腰时，则底是15-3×2=9（cm），此时3+3<9，不能组成三角形，应舍去，故选B2【解析】（1）由题意得：52<AB<5+2，即：3<AB<7，AB为奇数，AB=5，ABC的周长为5+5+2=12（2）AB=AC=5，ABC是等腰三角形3【答案】B【解析】四边形ABCD是正方形，PAD是等边三角形，PA=AD，AB=AD，PA=AB，同理：，故选B4【答案】5【解析】已知AON=60°，当OP=OA=5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得AOP为等边三角形故答案为：55【答案】6或6.5【解析】分两种情况：5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.56【答案】B【解析】如图，底面圆周长为2r，底面半圆弧长为r，即半圆弧长为：×2×=6（cm），展开得：BC=8 cm，AC=6 cm，根据勾股定理得：AB=10（cm），故选B考点冲关1【答案】C【解析】原式可化为a2+b2=c2，此三角形是直角三角形，故选C2【答案】D【解析】AD=BD，A=ABD，BDC=2ABD=BC，C=BDC=2AAB=AC，ABC=C=2A，由三角形内角和定理，得A+2A+2A=180°，即A=36°故选D4【答案】C【解析】AB=AC，B=C=30°，ABAD，BD=2AD=2×4=8，B+ADB=90°，ADB=60°，ADB=DAC+C=60°，DAC=30°，DAC=C，DC=AD=4，BC=BD+DC=8+4=12，故选C5【答案】D【解析】Aa2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定ABC为直角三角形，不符合题意；BA+B=C，此时C是直角，能够判定ABC是直角三角形，不符合题意；C52=32+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定ABC为直角三角形，不符合题意；DABC=345，那么A=45°、B=60°、C=75°，ABC不是直角三角形故选D6【答案】A【解析】分两种情况：当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22故选A7【答案】C【解析】AB=AC=5，AD平分BAC，BC=6，BD=CD=3，ADB=90°，AD=4故选C8【答案】B【解析】如图，点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个所以符合条件的点C共有9个故选B9【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-xD是BC的中点，BD=在RtBDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A10【答案】D【解析】如图，作AHCH，在RtACH中，AH=3，AHC=90°，ACH=30°，AC=2AH=6，在RtABC中，AB=故选D11【答案】 cm或12 cm【解析】设等腰三角形的腰长是x，底边是y，根据题意得或，解得或，经检验，均符合三角形的三边关系因此三角形的底边是 cm或12 cm故答案为： cm或12 cm12【答案】60°【解析】ABC是等边三角形，A=B=60°，DEBC交AB于E，DFAC于F，BDE=AFD=90°AED是BDE的外角，AED=B+BDE=60°+90°=150°，EDF=360°AAEDAFD=360°60°150°90°=60°，故答案为：60°13【答案】4【解析】BDE是正三角形，DBE=60°在ABC中，C=ABC，BEAC，C=ABC=ABE+EBC，则EBC=ABC-60°=C-60°，BEC=90°，EBC+C=90°，即C-60°+C=90°，解得C=75°，ABC=75°，A=30°，AED=90°-DEB=30°，A=AED，DE=AD=4，BE=DE=4，故答案为：414【答案】10【解析】当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形；当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10故答案为：1016【答案】15【解析】ABC是等边三角形，ACB=60°，ACD=120°，CG=CD，CDG=30°，FDE=150°，DF=DE，E=15°故答案为：1517【答案】或【解析】如图，过点A1作A1MBC于点M点A的对应点A1恰落在BCD的平分线上，BCD=90°，A1CM=45°，即AMC是等腰直角三角形，设CM=A1M=x，则BM=7-x又由折叠的性质知AB=A1B=5，在直角A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，在等腰RtA1CM中，CA1=A1M，CA1=3或4故答案为：或18【解析】CA=CB，CAB=CBA，AEC和BCD为等腰直角三角形，CAE=CBD=45°，FAG=FBG，FAB=FBA，AF=BF，在三角形ACF和BCF中，ACFBCF（SSS），ACF=BCF，AG=BG，CGAB（三线合一），即CG垂直平分AB19【解析】在直角ABO中，已知AB=2.5 m，BO=0.7 m，则AO=2.4 m，AO=AA+OA，OA=2 m，在直角ABO中，AB=AB，且AB为斜边，OB=1.5 m，BB=OB-OB=1.5 m-0.7 m=0.8 m答：梯足向外移动了0.8 m20【解析】（1）ABC是等边三角形，AB=AC=BC，BAC=ABC=ACB=60°，AE=BD，AC-AE=BC-BD，CE=CD，且ACB=60°，CDE是等边三角形，ECD=DEC=60°，EFDE，DEF=90°，CEF=30°，DCE=CEF+CFE=60°，CEF=CFE=30°，CE=CF（2）BD=CE，CE=CD，BD=CD，AB=9，BC=9，BD=3，CD=6，CE=CF=CD，CF=6，DF=DC+CF=1221【解析】（1）由题意可得：AC=6 m，DC=6 m，CAD=90°，可得AD=6（m），故ACD是等腰直角三角形（2）AC=6 m，BC=10 m，CAD=90°，AB=8（m），则BD=AB-AD=8-6=2（m）答：船体移动距离BD的长度为2 m直通中考1【答案】A【解析】A、32+4252，三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、22+3242，三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、42+6272，三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、52+112122，三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误故选A4【答案】B【解析】由题意得：m-2=0，n-4=0，m=2，n=4，又m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长，若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去；若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B5【答案】或【解析】等腰三角形的一个外角为，与130°相邻的内角为50°，当为顶角时，其他两角都为，；学科网当为底角时，其他两角为，所以等腰三角形的顶角为或，故答案为：或6【答案】70°【解析】RtABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到RtDEC，AC=CD，ACD是等腰直角三角形，CAD=45°，则BAD=BAC+CAD=25°+45°=70°，故答案为：70°7【答案】2或2.5【解析】如图，AB=2，AD=7，BD=BC+CD=AD-AB=5，AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，BC=AB或BC=CD，BC=2或BC=2.5，故答案为：2或2.58【答案】3【解析】AB=AC，ABC是等腰三角形A=36°，C=ABC=72°BD平分ABC交AC于D，ABD=DBC=36°，A=ABD=36°，ABD是等腰三角形BDC=A+ABD=36°+36°=72°=C，BDC是等腰三角形共有3个等腰三角形故答案为：39【答案】或 【解析】分两种情况：当是锐角三角形，如图1，CDAB，CDA=90°，CD=，AD=1，AC=2，AB=2AC，AB=4，BD=4-1=3，BC；当是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，BC=综上所述，BC的长为或，故答案为：或10【解析】AB=AC，B=CDEAB，DFBC，DEA=DFC=90°D为的AC中点，DA=DC又DE=DF，RtAEDRtCDF（HL），A=C，A=B=C，ABC是等边三角形11【解析】如图所示：