重积分在直角坐标系下的计算.ppt
二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算 二、典型例题二、典型例题一、二重积分计算公式一、二重积分计算公式三、利用对称性简化二重积分的计算三、利用对称性简化二重积分的计算想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？利用平行截面利用平行截面面积为已知的面积为已知的几何体体积的几何体体积的计算方法计算方法.曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积.曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法，得到就是说，二重积分可以通过 两次定积分来计算。如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分X型型特点特点:穿过穿过D内部且垂直于内部且垂直于x轴的直线与轴的直线与D的边界相交不的边界相交不多于两点多于两点.应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立体面面积为已知的立体体积体积”的方法的方法X型型如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型特点特点:穿过穿过D内部且垂直于内部且垂直于y轴的直线与轴的直线与D的边界相交的边界相交不多于两点不多于两点.Y型型情况三情况三:若若D既是既是 x型区域型区域,又是又是 y型区域型区域.x0yx0yx0y则既可先对则既可先对 x 积分积分,又可先对又可先对 y 积分积分.当用某次序算二重积分不好算时当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序可改换积分次序,可能好算可能好算.此时此时,情况四情况四:若若D的形状较复杂的形状较复杂,既不是既不是 x型区域型区域,也也不是不是 y型区域型区域.xy0D1D2D3D则可用一些平行于则可用一些平行于 x 轴轴和平行于和平行于 y 轴的直线将轴的直线将其分成若干块其分成若干块,使每一块使每一块或为或为x型型,或为或为 y型型,分块积分块积.如图二、典型例题二、典型例题例例1 1例例1 1例例2 2解解例例3 3解解12345-2-1123解解两曲线的交点两曲线的交点例例4例例5.5.关于分段落函数在关于分段落函数在D上的积分上的积分.其中其中D：0 x 1,0 y 1解：解：积分区域如图积分区域如图记记 f(x,y)=|y x|=yx,当当y x时时,xy,当当y x时时,且区域且区域D1:y x和和D2:y x分处在直线分处在直线y=x的上，下方的上，下方.故，原式故，原式=yx011DD2y=xD1注：注：分段落函数的积分要分块分段落函数的积分要分块(区域区域)来积来积.另外，带绝对值的函数是分段函数。另外，带绝对值的函数是分段函数。yx0D211y=xD1D改变下列各题的积分次序改变下列各题的积分次序例例1解解积分区域如图积分区域如图例例2解解原式原式例例3解解例例4解解例例5.5.求求解：解：由于由于是是“积不出积不出”的，怎么办？的，怎么办？要改换积分次序要改换积分次序.先画积分区域先画积分区域D的图形的图形.由积分表达式知，由积分表达式知，D：y x 1,0 y 1画曲线画曲线 x=y 和和 x=1，直线，直线y=0,y=1.如图：如图：故故 原式原式=yx0Dy=x例例6解解选择适当的积分顺序，有时能使选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，积分变得简便，易行。在作题时，当当按某一顺序积分很难，或不可行时，按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。可改换积分顺序试一试。使用对称性时应使用对称性时应注意注意1.1.积分区域关于坐标轴的对称性积分区域关于坐标轴的对称性.偶性偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配相匹配时时,才才能简化能简化.三、利用对称性简化二重积分的计算三、利用对称性简化二重积分的计算二重积分计算的简化二重积分计算的简化yx0D2D1二重积分计算的简化二重积分计算的简化yx0D2D1二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重积分计算的简化yx0D2y=xD1例例1 1.(1)易知yx0(x0,y0)(y0,x0)y=xy0 x0例例2解解例例3 计算计算其中D 由所围成.解解:令令(如图所示如图所示)显然显然,内容小结内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1.设且求提示提示:交换积分顺序后,x,y互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.交换积分顺序交换积分顺序提示提示:积分域如图机动 目录 上页 下页 返回 结束
