连续函数的运算和性质.ppt

第九节第九节 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质定理定理1若函数若函数在点在点处连续处连续,则则在点在点处也连续处也连续.例如例如,在在内连续内连续,故故在其定义域内连续在其定义域内连续.反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数在区间在区间上上单调减少单调减少)且连续且连续,则它的反函数则它的反函数也在对应也在对应的区间的区间上上调减少调减少)且连续且连续.证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单例如例如,在在上单调增加且连续上单调增加且连续,故故在在上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续.同理同理在在上单调减少且连续上单调减少且连续;在区间在区间内单调增加且连续内单调增加且连续;反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数在区间在区间上上单调减少单调减少)且连续且连续,则它的反函数则它的反函数也在对应也在对应的区间的区间上上调减少调减少)且连续且连续.证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单同理同理在在上单调减少且连续上单调减少且连续;在区间在区间内单调增加且连续内单调增加且连续;反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数在区间在区间上上单调减少单调减少)且连续且连续,则它的反函数则它的反函数也在对应也在对应的区间的区间上上调减少调减少)且连续且连续.证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单同理同理在在上单调减少且连续上单调减少且连续;在区间在区间内单调增加且连续内单调增加且连续;总之总之,反三角函数反三角函数在它们的定义域内都是连续的在它们的定义域内都是连续的.在区间在区间内单调减少且连续内单调减少且连续.复合函数的连续性复合函数的连续性意义意义1.2.定理定理3设函数设函数在点在点处连续处连续,且且而函数而函数在点在点处连续处连续,极限符号可以与连续函数符号互换极限符号可以与连续函数符号互换;的理论依据的理论依据.定理定理4给出了变量代换给出了变量代换定理定理4若若函数函数在点在点处处连续连续,则有则有则复合函数则复合函数在点在点处也连续处也连续.复合函数的连续性复合函数的连续性例如例如,在在内连续内连续,在在内连续内连续,在在内连续内连续.例例 1求求解解例例 2 求求解解例例 3 求求解解因为因为所以所以初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数的的;指数函数指数函数在在内单调内单调且连续且连续;对数函数对数函数在在内单内单调且连续调且连续;在在内连续内连续.讨论讨论的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续).在它们的定义域内是连续在它们的定义域内是连续初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理5基本初等函数基本初等函数定理定理6一切初等函数一切初等函数定义区间定义区间是指是指注意注意1.但在其但在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续.例如例如,在这些孤立点的邻域内没有定义在这些孤立点的邻域内没有定义.及及在定义域内是连续的在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,初等函数的连续性初等函数的连续性在这些孤立点的邻域内没有定义在这些孤立点的邻域内没有定义.及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义,函数在区间函数在区间上上2.定义区间定义区间).连续连续.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法(代入法代入法)例例 4 求求解解因为因为是初等函数是初等函数,且且是其定义区间内的点是其定义区间内的点,所以所以在点在点处连续处连续,于是于是幂指函数幂指函数因为因为故幂指函数可化为复合函数故幂指函数可化为复合函数.易见易见:若若则则即即注意公式成立的条件注意公式成立的条件例例5求求称为称为幂指函数幂指函数.解解形如形如的函数的函数 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质函数的有界性、最大值和最小值定理函数的有界性、最大值和最小值定理定义定义对于在区间对于在区间上有定义的函数上有定义的函数如果如果有有使得对于任一使得对于任一都有都有则称则称是函数是函数在区间在区间 上的最大上的最大(小小)值值.例如例如,在在上上,在在上上,定定理理1(有有界界性性和和最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.又如又如,函数函数 定理定理2.零点定理与介值定理零点定理与介值定理定义定义如果如果使使则则称为函数称为函数的零点的零点.零点定理零点定理设函数设函数在闭区间在闭区间上连续上连续,且且与与异号异号(即即即至少有即至少有一点一点使使那么在开区那么在开区内至少有函数内至少有函数间间的一个零点的一个零点,即方程即方程在在内至少存在一个实根内至少存在一个实根.几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数与最小值与最小值之间的任何值之间的任何值.必取得介于最大值必取得介于最大值例例 6证证证明方程证明方程少有一个实根少有一个实根.令令则则在在上连续上连续.又又由零点定理由零点定理,使使即即方程方程根根在区间在区间内至内至在在内至少有一个实内至少有一个实例例 7证证设函数设函数在区间在区间上连续上连续,且且证明证明:使得使得令令则则在在上连续上连续.而而由零点定理由零点定理,使使即即