第二型曲面积分.doc

§2 第二型曲面积分教学目的 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容 曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系教学建议(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握教学程序曲面的侧 双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义一、第二型曲面积分的概念与性质定义 设函数，与定义在双侧曲面上的函数在所指定的一侧作分割它把分成个小曲面（），分割的细度，以，分别为在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定如的法线正向与轴正向成锐角时，在平面上的投影区域的面积为正，反之，如的法线正向与轴正向成钝角时，在平面上的投影区域的面积为负（）在每个小曲面任取一点，若极限 +存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数，d 曲面所指定的一侧的第二型曲面积分，记为， (1)上述积分(1)也可写作+.第二型曲面积分的性质(1)若（）都存在，（），为常数，则有=.（2）若曲面由两两无公共内点的曲面块所组成，（）都存在，则也存在，且 =.二 、第二型曲面积分的计算定理22.2设为定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线正向与轴正向成锐角 ），则有= . （2）证明 由第二型曲面积分的定义=，这里，因，立刻可推得，由相关函数的连续性及二重积分的定义有=，所以= .类似地, 为定义在光滑曲面：上的连续函数时，而的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有= .Q为定义在光滑曲面：上的连续函数时，而的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有= .注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1 计算，其中是球面在部分并取球面外侧 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为： ，：，=+=例2 计算积分， 为球面取外侧. 解 对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, =+ . 对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, + .对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, =+ .综上, =.作业 P289:1;2.