高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第四节 基本不等式及其应用练习.doc

第四节 基本不等式及其应用一、选择题(6×5分30分)1(2009·天津高考)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1 D.解析：由题意知3a·3b3，即3ab3，所以ab1.因为a>0，b>0，所以(ab)222 4，当且仅当ab时，等号成立答案：B2(2011·开封模拟)已知x>0，y>0，lg2xlg8ylg2，则的最小值是()A2 B2C4 D2解析：因为x>0，y>0，且lg2xlg8ylg2，所以x3y1，于是有(x3y)()2()4.答案：C3函数f(x)的最大值为()A. B.C. D1解析：显然x0.x0时，f(x)0；当x>0时，x12，f(x)，当且仅当x1时，取等号，f(x)max.答案：B4(2009·重庆高考)已知a>0，b>0，则2的最小值是()A2 B2C4 D5解析：2224.当且仅当时，等号成立，即ab1，不等式取最小值4.答案：C5已知不等式(xy)()9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A8 B6C4 D2解析：(xy)()1a·aa12 a21，当且仅当a·等号成立，所以()2219，即()2280，得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值为4.答案：C6(2011·长春质检)某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品，他先将5 g的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品()A小于10 g B大于10 gC大于等于10 g D小于等于10 g解析：设左、右臂长分别为t1、t2，第一次称的药品为x1，第二次称的药品为x2，则有5t1x1t2，x2t15t2，所以x1x25()>5×210，即大于10 g.答案：B二、填空题(3×5分15分)7(2010·济宁模拟)函数y(x>1)的图象的最低点坐标是_解析：y(x1)2，当且仅当x0时，取等号答案：(0,2)8函数yax1(a>0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数ymxn的图象上，其中m，n>0，则的最小值为_解析：由题知A(1,1)，mn1，m，n>0.24.答案：49(2011·忻州模拟)设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是_解析：由x2y3z0得y，代入得3，当且仅当x3z时取“”答案：3三、解答题(共37分)10(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系式为y(v>0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)；(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解析：(1)依题意，y，当且仅当v，即v40时，上式等号成立所以ymax11.1(千辆/小时)所以当v40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时(2)由条件得>10，整理得v289v1 600<0，即(v25)(v64)<0，解得25<v<64.所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时11(理)(12分)(2011·福州质检)(1)已知a，b是正常数，ab，x，y(0，)，求证：，并指出等号成立的条件(2)求函数f(x)，x(0，)的最小值，指出取最小值时x的值(1)证明：a，b，x，y都是正数，()(xy)a2b2a2b22ab(ab)2，当且仅当，即bxay时取“”，当且仅当bxay时等号成立(2)0<x<，0<12x<1.由(1)，知f(x)25，当且仅当3·2x2·(12x)，即x(0，)时取“”x时，f(x)的最小值为25.(文)(12分)(1)设x>1，求函数y的最小值(2)求yx(a2x)(0<x<，且a为常数)的最大值解析：(1)x>1，y(x1)52 59.当且仅当x1，即x1时取等号函数的最小值为9.(2)0<x<，a2x>0，yx(a2x)·2x(a2x)·()2.当且仅当2xa2x，即x时取等号，当x时，函数的最大值为.12(13分)(2011·南通模拟)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图)(1)若设休闲区的长和宽的比x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解析：(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则其长A1B1为ax米，a2x4 000a，S(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)·16080(2)4 160(x>1)(2)S1 6004 1605 760(当且仅当2x2.5)，即当x2.5时，公园所占面积最小此时a40，ax100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米