数列问题中的数学思想方法.doc
数列问题中的数学思想方法电子邮箱zyl,手机号码；电话；QQ： 湖南祁东育贤中学 周友良 数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。一、 函数思想数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。例1.已知数列的通项公式，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？分析：根据条件，数列的点都在函数的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。例2已知数列是等差数列，若，求。解：，故为等差数列，其通项为一次函数，设，则点，在其图象上，故，解之得：。评注：是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解。例3设等差数列的前n项和为，已知，。（1）求公差d的取值范围；（2）指出、中哪一个值最大，并说明理由。分析：对于（1），可考虑由，建立关于d的不等式组，对于（2）由是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。解：（1）由知，。（2），是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为：，故当整数时，最大，即最大。评注：对于等差数列来说，是n的二次函数，且常数项为零，可写为的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于，故图象与x轴的另一交点横坐标，满足，故对称轴为，因此，判定时最大，以上思维过程更为简捷。例4等差数列的首项是2，前10项之和是15，记求及的最大值分析：由已知可求出公差d解好本题的关键是对“”这一表达式准确、全面的认识：是数列的子数列，其中2，4，8，组成等比数列，则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，问题不仅较易于解决，而且从不同角度入手可得到求最大值的不同解法解：设等差数列的公差为d，由已知： ，解得 求的最大值有以下三种解法解法一：由令，解得又，解得即在数列中： ，所以当时，的值最大，其最大值为： 解法二：数列的通项令，得，由此可得故使，的最大值为4解法三：由，若存在自然数，使得，且，则的值最大 解得，取时，有最大值：反思回顾：上述三种求最值的方法都是运用函数思想解法一是通过数列的单调性及值的正负，求子数列的前n项和的最值解法二是直接研究子数列解法三是研究的单调性求其最值，解法三还可简化为研究函数的单调性二、 方程思想数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。例5、设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项，求的通项公式。解：由题意可知整理得：，当时解得。又-，整理得： ，又，即是首项为2，公差为4的等差数列，。点评：本例利用了方程的消元思想由、消去得到了这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决。值得注意的是有的时候可借助消去利用递推关系解题。例6、已知等差数列的公差是正数，并且，求前n项的和。解：由等差数列知：，从而，故是方程的两根，又，解之，得：。再解方程组：，所以。点评：本题利用了这一性质构造了二次方程巧妙的解出了，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与（或）找出解题的捷径。三、 分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决。例7、已知等差数列的前n项的和，求。解：（1）当时，；（2）当时，；综合（1）（2）可知。点评：此例从分的体现了与的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是中脚码必须为正整数。例8已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （）求q的值；（）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解：（）由题设 （）若当 故若当故对于例9（江西卷）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：方法一：先考虑偶数项有： 同理考虑奇数项有：综合可得例10 设等比数列的公比为，前n项和。（）求的取值范围；（）设，记的前n项和为，试比较与的大小。解：（）因为是等比数列，当上式等价于不等式组： 或 解式得q>1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1<q<1.综上，q的取值范围是（）由得于是又>0且1<<0或>0当或时即当且0时，即当或=2时，即四、 化归与转化的思想我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决。例11 已知数列的首项，前n项和为，且，求的通项公式。分析与略解：当n2时，。两式相减，得，。可见是公比为2的等比数列。又 ，得 ，则 。因此 。两边同除以，得（常数），可见是首项为，公差为的等差数列。因此，从而。评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行。问题降低了难度。例12设是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），求通项。分析与略解：则已知有。由为正项数列，知，故有。（*）方法1（叠乘法）：由（*）有。利用 ，得 方法2（叠加法）：由（*）式，记，则。利用得 。方法3（常数列）：由（*）式有，可知是常数列。则 ，得 。评析：有些数列不易直接化成等差或等比数列，但经推理可寻求特殊的关系转化为可求通项的数列。上例巧妙利用和求解。例13、已知数列的通项公式为，求此数列的前的和。解：点评：本例是利用转化与化归的思想把数列中的每一项都拆开（拆项相消法）巧妙的求前和。例14、求证：证法1：令又证法2：令则；点评：证法1采用拆项分组求和证明的，证法2采用的是倒序相加法求和证明的。总之由上可知化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等。五归纳猜想数学归纳思想例15设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，·（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn是公比为的等比数列· 证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列· （III）.例16（湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （）求xn+1与xn的关系式； （）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论.解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x1>0，所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （）若b的值使得xn>0，nN* 由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知 0<xn<3b, nN*, 特别地，有0<x1<3b. 即0<b<3x1. 而x1(0, 2)，所以 由此猜测b的最大允许值是1. 下证 当x1(0, 2) ，b=1时，都有xn(0, 2), nN* 当n=1时，结论显然成立.假设当n=k时结论成立，即xk(0, 2),则当n=k+1时，xk+1=xk(2xk)>0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+11<2,所以xk+1(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由、可知，对于任意的nN*，都有xn(0,2).综上所述，为保证对任意x1(0, 2), 都有xn>0， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.例17已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时， ，命题正确.2°假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1°、2°知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，； 2°假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切 （2）下面来求数列的通项：所以,又bn=1，所以 最后，数学思想与方法是数学“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数学知识为载体的客观存在的内容，是人们解题经验的积累，解题方法提炼和总结，具有应用性、概括性和指导性。因此在数列复习时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生领悟其价值、滋生应用的意识。
