曲线积分和曲面积分.doc

曲线积分和曲面积分 一、 一、基本内容 （一）第一型曲线积分与曲面积分1.第一型曲线积分（1）第一型曲线积分的定义若是封闭的，则记作(2) 第一型曲线积分的计算2.第一型曲面积分（1）第一型曲面积分的定义（2）第一型曲面积分的计算（二）第二型曲线积分1第二型曲线积分的定义设，当，都存在时，其中是的单位切向量，称为一般形式的第二型曲线积分.2. 第二型曲线积分的计算3.格林公式及其一些命题（1）格林公式（2）若、在单连通域上均连续，则下列四个命题等价：1) 只依赖于区域内的起点与终点，而与连结、的积分路径无关；2) 在区域上，是某一个函数的全微分，且点是内的某一定点，点是内的动点；3) 在区域上的每一点处都成立；4)，其中是内的任意一条逐段光滑的闭曲线（三）第二型曲面积分1.第二型曲面积分的定义称为一般形式的第二型曲面积分，当是闭曲面时，积分号将写成2. 第二型曲面积分的计算,同理计算,3.奥-高公式与斯托克斯公式（1）（2）4.向量场的散度与旋度称为散度,称为旋度二、练习题 10.1计算下列第一型曲线积分：（1）计算,其中为连接，的直线段所围成的围线解：如图10-1，；O11ABxy 图10-1；（2），其中为摆线，的第一拱解：摆线的第一拱，则（3），其中是解：是关于的奇函数,而是关于轴对称.由第一型曲线积分的对称性知：(x,y)a/2axyOt图10-2（4），其中为圆周解：如图10-2，方程为：，其中原式 （5），其中为圆周解：的参数方程为：z OBaxACyaa图10-3（6）计算球面在第一象限上的边界曲线的形心解：不妨假设，如图10-3，   其中； ； 故又由于图形的对称性知（7）设的方程为，其线密度，求对于原点处的单位质点引力解：的极坐标方程为， 由对称性知10.2计算下列第二型曲线积分：（1），为抛物线解：原式 （2），其中为抛物线段，为直线解：原式（3），为沿参数增加的方向进行的曲线z OB1xACy11图10-4解：原式 （4），为球面的第一象限中的部分的边界，当沿着它的正向进行时曲面的外面保持在左方解：如图10-4，由对称性知原积分为 ，从到原积分 （5），是从沿曲线到点解：补充直线段，从到 原积分 （6），其中为域的正方向的周线解：由格林公式，（7），为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线  图10-5解：（1）若原点不在所围的区域内，直接应用格林公式 （2）若原点在所围成的区域内，如图10-5，在原点附近作一个充分小的圆周，其方向为顺时针方向，设与所围成的复连域为，则 （8）解：故积分与路径无关1A3xyo -1B(3,-1)图10-6C如图10-6，选取路径，计算积分原积分 （9）1OB(1, ) xy图10-7A解：，故积分与路径无关， 如图10-7，选取路径计算积分原积分10.3计算下列第一型曲面积分：2图10-8（1），是在第一象限的部分解：，如图10-8，a图10-9（2），是的表面解：如图10-9，取取， 则 (3)设曲面的面密度为，求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量解：由对称性知： 故质心坐标为 由对称性知 10.4计算下列第二型曲面积分：(1),是由与所围成的立体的表面内侧解：由高斯公式知（2），是由，及所围成立体表面外侧解：由高斯公式（3），为球面的外侧解：由对称性知故原积分设，则仍有（4）求向量穿过曲面为的全表面流向外侧的流量解： 三、测验题 1. 1.      填空（1）是曲线，其周长为，则等于 解：由积分的对称性知，又即：，故（2）是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为，则 解：由格林公式，（3）.（4）略2. 2.      选择（1）.（2）.（3）略（4），其中是平面被柱面所截得部分的上侧，则等于（）A. B. C. D.，故，有， 选取坐标：，则，应选B3. 计算下列各题（1），其中是从沿，到解：补充直线段，其中 (2)求摆线， 的弧的重心解： 故，（3）计算，其中是从轴正向看的方向为顺时针方向解：取为被所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根据斯托克斯公式有：（4），其中是在的第一象限部分的下侧解：补面， ，取上侧； ，取左侧； ， ，取后侧