数学(理)全国II大联考(八).docx

全 国 大 联 考2015届高三第八次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x|y=1log2x-2,B=x|x10,则AB等于A.(2,10)B.(2,10C.4,10D.(4,102.已知a,bR,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2等于A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i3.“lg x,lg y,lg z成等差数列”是“y2=xz”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若sin =-35,是第三象限的角,则cos2+sin2cos2-sin2等于A.12B.-12C.2D.-25.设 F1、F2分别是双曲线 C:x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点 P(62,22)在此双曲线上,且 PF1PF2,则双曲线C的离心率e等于A.22B.2C.3D.626.如图所示,这是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A.2+8B.8+8C.4+8D.6+87.已知x,y满足约束条件x+y-20,x-2y-20,2x-y+20.若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为A.12或-1B.2或12C.2或1D.2或-18.若(ax2+bx)6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为A.1B.2C.3D.49.执行如图所示的程序框图,若f(x)=3x2-1,取g=110,则输出的值为A.1932B.916C.58D.3410.如图,矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,-1),B(,-1),C(,1),D(0,1),正弦曲线f(x)=sin x和余弦曲线g(x)=cos x在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是A.1+2B.1C.1+22D.1211.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于A.±12B.±13C.±1D.±212.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=log2(x+1),x0,1),|x-3|-1,x1,+),则函数g(x)=f(x)-12的所有零点之和为A.2-1B.3-1C.2-3D.2+5第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.向量a、b满足|a|=1,|a-b|=32,a与b的夹角为60°,则|b|= . 14.某宾馆安排A、B、C、D、E 五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A、B不能住同一房间,则共有种不同的安排方法(用数字作答). 15.表面积为60的球面上有四点S,A,B,C且ABC是等边三角形,球心O到平面ABC的距离为3,若平面SAB平面ABC,则棱锥S-ABC体积的最大值为. 16.已知数列an,bn满足a1=12,an+bn=1,bn+1=bn1-an2(nN*),则b2015=. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,在ABC中,B=3,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DEAC,E为垂足.(1)若BCD的面积为33,求CD的长;(2)若ED=62,求角A的大小.18.(本小题满分12分)在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记1分,白球记2分,黄球记3分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为x、y,设O为坐标原点,点P的坐标为(x-2,x-y),记=|OP|2.(1)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;(2)求随机变量的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.(1)求证:A1FC1E;(2)当三棱锥B1-BEF的体积取得最大值时,求二面角B1-EF-B的正切值. 20.(本小题满分12分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是4,椭圆C2:y2t2+x2n2=1(t>n>0)短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点.(1)求椭圆C1,C2的方程;(2)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求F2MN面积的最大值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(其中kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k(12,1时,求函数f(x)在0,k上的最大值M.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证:PM2=PA·PC;(2)若O的半径为23,OA=3OM,求MN的长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是=4cos .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是x=1+tcos,y=tsin(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=14,求直线的倾斜角的值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x+2|-a).(1)当a=7时,求函数f(x)的定义域;(2)若关于x的不等式f(x)3的解集是R,求实数a的取值范围.2015届高三第八次联考·数学试卷参考答案1.DA=x|x>4,B=x|x10,AB=x|4<x10.2.Da-i与2+bi互为共轭复数,则a=2,b=1,(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.3.A“lg x,lg y,lg z成等差数列”2lg y=lg x+lg zy2=xz,但y2=xz/2lg y=lg x+lg z,选A.4.B是第三象限的角,cos =-45,cos2+sin2cos2-sin2=(cos2+sin2)2cos22-sin22=1+sincos=-12.5.B将点P代入可得3b2-a2=2a2b2,再由PF1PF2可得2262+c×2262-c=-1.c2=2,根据c2=a2+b2可解得ca=2.6.A由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱,下面为一个长方体,所以其体积为×12×2+2×4×1=2+8.7.D由题意作出其平面区域,将z=y-ax化为y=ax+z,z相当于直线y=ax+z的纵截距,由题意可得,y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行,故a=2或-1.8.B由二项式定理的展开公式可得:Tr+1=C6r(ax2)6-r(bx)r=C6ra6-r·brx12-3r,令12-3r=3r=3,因为(ax2+bx)6的展开式中x3项的系数为20,所以C63a3b3=20a3b3=1ab=1,由基本不等式可得a2+b22ab=2,当且仅当a=b时等号成立.所以选B.9.A因为f(0)=-1<0,f(1)=2>0,第一次执行循环体f(12)=34-1=-14<0,a=12,b-a=1-12=12>110;第二次执行循环体f(34)=2716-1=1116>0,b=34,b-a=14>110;第三次执行循环体f(58)=7564-1=1164>0,b=58,b-a=18>110;第四次执行循环体f(916)=-13256<0,a=916,b-a=116<110,所以输出916+582=1932.10.C根据题意,可得曲线y=sin x与y=cos x围成的区域,其面积为 4(sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x)  4=1-(-22-22)=1+2;又矩形ABCD的面积为2,由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是:1+22.11.C设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2).则直线l为y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x联立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则有x1x2=1,x1+x2=4k2-2,因此可得Q(2k2-1,2k),因F(1,0),由|FQ|=2,将(2k2-2)2+(2k)2=4,解得k2=1,所以k=±1.12.A函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=-log2(1-x),x-1,0),1-|x-3|,x(-,-1),作出函数f(x)在R上的图象如图:由g(x)=f(x)-12=0,即f(x)=12,由图象可知函数f(x)=12有5个根,不妨设为x=a,b,c,d,e,且a<b<c<d<e,则a,b关于x=-3对称,d,e关于x=3对称,0<c<1,则a+b2=-3,d+e2=3,a+b=-6,d+e=6,0<c<1,由f(c)=12,得log2(c+1)=12,即c+1=212=2,c=2-1,零点之和为a+b+c+d+e=-6+6+2-1=2-1.13.12由|a-b|=32得:a2-2a·b+b2=34,1-2|b|cos 60°+|b|2=34,|b|=12.14.114C53·A33+C31C52C32-C42·A33=114.15.27由题意画出几何体的图形如图:因为球的表面积为60,所以球半径为15,由于平面SAB平面ABC,所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上,由于OO'平面ABC,SD平面ABC,即有OO'SD,当D为AB的中点时,SD最大,棱锥S-ABC的体积最大.由于OC=15,OO'=3,则CO'=23,DO'=3,则ABC是边长为6的正三角形,故ABC的面积为:S=34×62=93.在直角梯形SDO'O中,作OESD于点E,OE=DO'=3,DE=OO'=3,SD=DE+SE=3+15-3=33,即有三棱锥S-ABC体积V=13Sh=13×93×33=27.16.an+bn=1,且bn+1=bn1-an2,bn+1=12-bn,a1=12,且a1+b1=1,b1=12,再根据bn+1=12-bn,1bn+1-1-1bn-1=-1,又b1=12,1b1-1=-2.数列1bn-1是以-2为首项,-1为公差的等差数列,1bn-1=-n-1,bn=nn+1.则b2015=.17.解:(1)由已知得SBCD=12BC·BD·sin B=33,又BC=2,sin B=32,BD=23,cos B=12.在BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=22+(23)2-2×2×23×12=289.CD=273.6分(2)CD=AD=DEsinA=62sinA,在BCD中,由正弦定理得BCsinBDC=CDsinB,又BDC=2A,得2sin2A=62sinAsinB,解得cos A=22,所以A=4.12分18.解:(1)x、y可能的取值为1、2、3,1分|x-2|1,|y-x|2,=(x-2)2+(x-y)25,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,=5.因此,随机变量的最大值为5.3分有放回摸两球的所有情况有3×3=9种,P(=5)=29.6分(2)的所有取值为0,1,2,5.=0时,只有x=2,y=2这一种情况.=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况.=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况. 由(1)知=5有两种情况.P(=0)=19,P(=1)=49,P(=2)=29,P(=5)=29,8分则随机变量的分布列为:0125P1949292910分因此,数学期望E=0×19+1×49+2×29+5×29=2.12分19.解:设AE=BF=x.以D为原点建立空间直角坐标系,得下列坐标:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),E(2,x,0),F(2-x,2,0).(1)因为A1F=(-x,2,-2),C1E=(2,x-2,-2),所以A1F·C1E=(-x,2,-2)·(2,x-2,-2)=0.所以A1FC1E.4分(2)因为VB1-BEF=13SBEF×BB1=23SBEF,所以当SBEF取得最大值时,三棱锥B1-BEF的体积取得最大值.因为SBEF=12(2-x)x=1-(x-1)2212,所以当x=1时,即E,F分别是棱AB,BC的中点时,三棱锥B1-BEF的体积取得最大值,此时E,F坐标分别为E(2,1,0),F(1,2,0).设平面B1EF的法向量为m=(a,b,c), 则m·B1E=(a,b,c)·(0,-1,-2)=0,m·EF=(a,b,c)·(-1,1,0)=0,得b+2c=0,a-b=0.取a=2,b=2,c=-1,得m=(2,2,-1).显然底面ABCD的法向量为n=(0,0,1).设二面角B1-EF-B的平面角为,由题意知为锐角.因为cos<m,n>=m·n|m|n|=-13,所以cos =13,于是sin =223,所以tan =22,即二面角B1-EF-B的正切值为22.12分20.解:(1)设椭圆C1的半焦距为c,椭圆C2的半焦距为c'.由已知a=2,b=t,n=12.椭圆C1与椭圆C2的离心率相等,即ca=c't,a2-b2a2=t2-n2t2,即1-(ba)2=1-(nt)2,ba=nt,即bt=b2=an=1,b=t=1,椭圆C1的方程是x24+y2=1,椭圆C2的方程是y2+x214=1.6分(2)显然直线的斜率不为0,故可设直线的方程为:x=my-3.联立:x=my-3y2+4x2=1,得y2+4(my-3)2-1=0,即(1+4m2)y2-83my+11=0,=192m2-44(1+4m2)=16m2-44>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=83m1+4m2,y1y2=111+4m2,|MN|=21+m24m2-111+4m2.又F2MN的高即为点F2到直线l:x-my+3=0的距离h=|3-0·m+3|1+m2=231+m2.F2MN的面积S=12|MN|h=234m2-111+4m2=234m2-11+124m2-11,4m2-11+124m2-11212=43,当且仅当4m2-11=124m2-11,即m=±232时等号成立.S2343=12,即F2MN的面积的最大值为12.12分21.解:(1)当k=1时, f(x)=(x-1)ex-x2,f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2).令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln 2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:x(-,0)0(0,ln 2)ln 2(ln 2,+)f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值由上表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-,0),(ln 2,+). 6分(2)f'(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln(2k), 令g(k)=ln(2k)-k=ln 2+ln k-k,则g'(k)=1k-1=1-kk>0,所以g(k)在(12,1上递增, 所以g(k)ln 2-1=ln 2-ln e<0,从而ln(2k)<k,所以ln(2k)0,k,所以当x(0,ln(2k)时,f'(x)<0;当x(ln(2k),+)时,f'(x)>0; 所以M=maxf(0),f(k)=max-1,(k-1)ek-k3.令h(k)=(k-1)ek-k3+1,则h'(k)=k(ek-3k),令(k)=ek-3k,则'(k)=ek-3<e-3<0,所以(k)在(12,1上递减,而(12)·(1)=(e-32)(e-3)<0,所以存在x0(12,1使得(x0)=0,且当k(12,x0)时,(k)>0;当k(x0,1)时,(k)<0.所以(k)在(12,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减. 因为h(12)=-12e+78>0,h(1)=0,所以h(k)0在(12,1上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”. 综上,函数f(x)在0,k上的最大值M=(k-1)ek-k3.12分22.(1)证明:连接ON,则ONPN,且OBN为等腰三角形,则OBN=ONB,PMN=OMB=90°-OBN,PNM=90°-ONB,PMN=PNM,PM=PN,根据切割线定理,有PN2=PA·PC,PM2=PA·PC.5分(2)解:OM=2,在RtBOM中,BM=OB2+OM2=4.延长BO交O于点D,连结DN.由条件易知BOMBND,于是BOBN=BMBD,即23BN=443,BN=6,MN=BN-BM=6-4=2.10分23.解:(1)由=4cos 得(x-2)2+y2=4.4分(2)将x=1+tcos,y=tsin代入圆的方程得(tcos -1)2+(tsin )2=4,化简得t2-2tcos -3=0,设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=2cos,t1t2=-3,|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4cos2+12=14,4cos2=2,cos =±22,=4或34.10分24.解:(1)由题设知:|x-1|+|x+2|>7,由绝对值的几何意义可得x<-4或x>3,从而函数f(x)的定义域为(-,-4)(3,+).5分(2)不等式f(x)3,即|x-1|+|x+2|a+8,xR时,恒有|x-1|+|x+2|(x-1)-(x+2)|=3,8分不等式|x-1|+|x+2|a+8解集是R,a+83,即a-5.实数a的取值范围是(-,-5.10分