方程与函数思想在圆锥曲线的应用(第一讲).doc
方程与函数思想在圆锥曲线的应用【核心内容及思想】解析几何是将形与数结合在一起的一门学科.研究形的问题，往往是通过数表示出来，而数又是通过方程予与定量的.因此求解析几何的有关问题，常常通过方程予与解答.深刻理解方程思想对于研究解析几何中问题有着至关重要的作用. 方程思想的核心是运用数学的符号化语言，将问题中已知量和未知量(或参变量-对于一个式子（函数、方程或不等式），若含有两个或两个以上的变量，如果其中一个变量在允许的范围内的变化，直接或间接地影响另外一个或两个变量的变化（或性质改变），则我们将这一变量称为参变量.)之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过对方程(或方程组)、不等式的变换求出未知量的值，使问题获解.【例题及习题】1. （1）若椭圆的长轴长为2，离心率为，则椭圆的标准方程为_(2)若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_(3) 已知椭圆的离心率，则的值为_2. 若圆的方程为，圆的方程为，则方程表示的轨迹是（ ）A 经过、的直线B 线段的中垂线C 两圆公共弦所在的直线D.一条直线且过该直线上点到两圆的切线长相等3. 点P在上，若则= 4. 设是曲线上的点,，则必有（ ）（A） （B）（C） （D）5. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： 存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有两条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有四条.其中所有真命题的序号是 A B C D6. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不是“点” D直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”7.已知直线与抛物线y2=x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1y2=-1,点O为坐标原点，则OAB是（）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D任意三角形8. 过抛物线y2=x上一点A（4,2）作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B、C两点，直线BC的斜率为_.9. 抛物线x2=2y上离点A（0，a）最近的点恰好是顶点的充要条件是（）Aa0 B a C a1 D a210.设椭圆y2=1上一点，F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，则PF1PF2的最大值为；最小值为11. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .12. 已知圆：，点是抛物线：上的动点，过点作圆的两条切线，则两切线夹角的最大值为 . 13. 在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由14. 如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且和分别在轴和轴上 .（1）求证：；（2）若四边形的面积为8，对角线的长为2，且，求的值；xy（3）设四边形的一条边的中点为，且垂足为.试用平面解析几何的研究方法判断点、是否共线，并说明理由.15. 已知椭圆C:的长轴长为，离心率. （I）求椭圆C的标准方程； （II）若过点B（2，0）的直线（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），且OBE与OBF的面积之比为，求直线的方程.16.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P.（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值.17.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.18.已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 19. 已知过抛物线x2=4y的对称轴上一点P(0，m)(m>0)作直线，与抛物线交于A、B两点.(1)若角AOB为锐角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围.(2)若的方程为x-2y+12=0,且过A、B两点的圆C与抛物线在点A(A在第一象限)处有共同的切线，求圆C的方程.20. 已知抛物线，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（）若存在直线l使得成等比数列，求实数m的取值范围. 21. 椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=,直线交椭圆于点A、B，满足2，其中，定点C（1,0）.当OAB取得最大值时，求椭圆的方程.22. 如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点，.（）若，求直线的方程；ADCBxOylEF（）设直线的斜率分别为，若，求的值.23椭圆C的中心坐标为原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为 （1）求椭圆方程； （2）若的取值范围.24.已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）.（1） 求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.25.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.26. 已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率. ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程；()在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.27. 设动点的坐标为（），向量，且=8. （I）求动点的轨迹的方程； （）过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.28. 如图，已知是椭圆的左、右顶点，是该椭圆上不同于顶点的两点，且直线与、与分别交于点（1）求证：；（2）若弦过椭圆的右焦点，试求直线的方程30. 已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点F的距离为2，直线与抛物线交于两点.（）求抛物线的方程；（）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；（）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值.31. 已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（）若，求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
