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数学课堂中的美丽错误 都安县安阳镇第二小学 唐艳芳【内容摘要】学习错误源于学习活动本身，是学生学习过程中的相伴产物，是被忽视又亟待开发的宝贵教学资源。教师应该如何善待学生的“错误”，善于捕捉课中错误资源，将学生的学习错误当作一种教育的契机，只有我们树立正确的错误资源观，因错制宜，变错误为资源，化腐朽为神奇，为开展教学活动、解决教学问题服务。 【关键词】数学课堂   错误资源 因错制宜动态的、易谬主义的、模式论的数学观认为：数学事实上应被看成是人类的一种创造性活动，数学活动是一种包含有猜测、错误和尝试、证明与反驳、检验与改进的复杂过程。其结果是在数学活动中不可避免地会产生错误，可以这样说只要有认知活动就有错误发生，学生在数学课堂教学中的学习也不例外。然而“错误本身是达到真理的一个必然的环节”（黑格尔语），是学生的准经验，是被忽视又亟待开发的宝贵的教学资源。处理不当，将会影响后继教学，甚至阻碍学生的发展；如果充分利用，学生不仅能感受到自己在课堂上的变化和成长，还能体验到人格的尊严、真理的力量和交往的乐趣。因此，我们应该如何善待学生的“错误”，抓住这种数学教育契机，让错误焕发出光芒变成美丽的课程资源，化腐朽为神奇。这是值得每一位老师思考的共性问题。一、错得其所，将错就错在学生与学生、学生与教师互动交流过程中，有时自然而然地生成一些“错解”、“错例”、“错说”。不可否认，这些差错可能对部分学生的新知产生“负移迁” 作用，但有些差错是防不用防，是学生主客观反应的必然结果，它反映了知识的易错点、注意点、关键点或思维的忽视区、盲区等。因此对于学生来说也是合理的差错。这些差错与其采取“围追堵截”、“置之不理”，还不如把“错”顺手拈来，将错就错，往往能收到出奇制胜之效。例如在分数应用题的综合练习课中我设计了这样一个学习材料“一个油桶，装了半桶油，倒出其中的2/5，还剩24千克。这个油桶能装多少千克油？”的确，由于此材料涉及两个不同的单位“1”：整桶和半桶，学生知识稍有缺陷、审题稍有不慎，就会出现理解的偏差，产生典型错解：把两个分率的单位“1”看成一样。从学生的反馈信息来看，果然如此，解决中出现以下几种情况：24÷（1/2-2/5）、24÷（1-2/5）×2、24÷（1/2-2/5×1/2）我在学生分别用手势1、2、3表示各自赞成的方法了解各种做法的学生比例后，如下处理：师：、两种方法的人数差不多，请各说说理由（手势先指第一种）。生：装了半桶油也就是1/2，倒出2/5，还剩1/2-2/5，把还剩的千克数除以还剩的分率，就是单位“1”的量整桶油的千克数。生：不对，不对。（群起反对）听大家这样反对，这位生似有感悟到问题所在，急忙问：老师，我这两个分率是不是单位“1”不同？师：你说呢？（提供机会让学生进行自我反思）生：1/2是把整桶油看作单位“1”，2/5好像把半桶油看作单位“1”。师：大家觉得呢？齐说：是的。师：你们从哪里看出来？接下来以此为触及点，延伸到其他各种方法的理解和本题注意点的提炼就水到渠成。不能否认，由于大部分学生能用正确的方法进行解答，所以针对本案例中出现的生1的“错解”，教者完全可以采取下面引导的教学策略，而对“错解”则采取忽略不计或含沙射影的办法。然而，本案例中的处理明显是棋高一筹：其一利用合理差错，暴露理解盲区，自然生成审题关注点；其二提供反思机会，促成自我否定，形成正确思路；其三，教师采取了“将错就错”的策略巧妙地创造了一个民主、平等的教学场，学生的思维、情感被彻底激活。因此我们说，在课堂教学实践中，学生出现的“错”只要错的合理，错得其所，教师也不妨试一试“将错就错”，因为学生在去伪存真、去粗取精的求知过程中，所习得的本领才是真正被他们所内化吸收的本领。二、个别差错，抛砖引玉在课堂的错误资源中有个别差错与普遍差错之分，它们涉及两个分类维度：一就学习个体与班级整体的范围而言，二就学习个体答案中差错与正确的比例来说。不管是哪一方面，个别差错在教学中都可以发挥顺水推舟、抛砖引玉的作用，不必另起炉灶。例如约数和倍数一课，教师在寻找一个数的全部约数环节：寻找36的全部约数。这个学习任务对于每个学生来说都能完成部分约数，只是存在量的部分与全部之别，思考时有序和无序之分。而我们通过此环节的教学，目的是要让学生主动发现和理解有序地找出一个数的全部约数的方法。根据这种实际情况，我在反馈时出示了一位写了部分约数的学生答案：1、2、3、4、6、9、12、36。下面的学生纷纷举手要发表意见。我请了其中一生：“他漏掉了一个约数18。”“你们意见？”统一全班意见后，我追问：“你们怎么这么快就知道漏掉了一个约数18？”围绕这个问题，学生道出了找到漏掉因数的方法：一对一对地找，同时生成相应的两组算式：第一组：1×36=36      第二组：36÷1=362×18=36              36÷4= 93×12=36              36÷6= 64×9 =36              36÷3=126×6 =36              36÷2=18进一步理解一对一对找的方法并体验它的优点。继而讨论“约数6为什么只写一个？”并比较两组算式的优劣，把注意点集中到有序思考方面，体验有序思考的重要性，达到预定的目标。试想一下，在这反馈交流环节如果一开始就出示正确的规范的答案，用正面强化方法刺激学生，成功者可能颀喜，失败者也能从示范中发现方法。但相比以上的处理难免显得被动。由个别差错入手，用抛砖引玉的策略却能起到事半功倍的功效。因为出错的学生属于弱势群体，应该得到更多的关照，课堂上应让出错者陈述思路，有时在叙述思路的过程中就已经自己洞察出所犯的部分差错，甚至能及时修正原先的观点，他们“从错误中醒来，就会以更新的力量走向真理”（歌德）。其他学生看到个别差错，是从帮助同学的角度出发，兴趣盎然容易调动内驱力，达到情绪高涨，思维敏捷，气氛活跃，正像苏霍姆林斯基说的“每个孩子都有一个根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者。”另外学生的差错对于其余学生来说是一种反例，让学生知己知彼，起到“百战不殆”的借鉴作用。 三、故意之错，釜底抽薪先来介绍一位老师在圆的周长一课中的一个教学片段：在圆的周长教学中，老师让学生探索圆的周长的直径的关系。学生操作后，出现一组这样汇报结果：我们小组将一个直径2厘米的圆用绳子围的方法，量得圆的周长是6.28厘米，周长和直径的比是3.14。”这一信息有错吗？大家知道，操作得如此精确，刚好等于圆周率的前两位，对于学生面前的操作条件是不可能达到的，显然这组学生是事先预习过或从其他途径接触过圆周率的有关知识，操作与汇报时犯一个有意之错。面对面前反馈的信息，我们有两种处理策略：一、投其所好。教师评价：“你们小组合作得非常好！还有哪一个小组来汇报？”教师对学生的“正确数据”没有任何异议，也许感觉到了不真实性，但采取了回避的态度，认为没有追究的必要，于是“笑纳”了。二、釜底抽薪。在听完学生的汇报后，这样评价：“我是十分佩服！佩服你们的眼力。请介绍一下你们是怎样从直尺上读出 6.28厘米的？（我把“8”字咬得特别响，并投影出示直尺，手指着6.2-6.3的一段。）”“我们，我们是”始作俑者不好意思地道出原委。班上同学先是羡慕，接着是好奇，最后是醒悟。随后，我引导学生关注操作的过程和真实的结果，鼓励学生说出真实的数据，并讨论产生偏差的客观原因，而没有急切地指向实验的结果。我们不难发现，在课堂教学中部分学生由于知识的“超前”接触、思想的歪曲认识以及对教师心理的讨好揣摩，经常犯一些故意之错。它比无心之错危害更大，也更有教育价值。因为它直接影响学生的健康思想、正确观念以及今后的人生观的形成，如果不及时指出并给予纠正与扭转，长此以往后果严重。因此在这方面我们必须要给学生一片蔚蓝的心灵天空，处理时也就毫不含糊、单刀直入、一针见血地揭露其本质，来个釜底抽薪，让学生晓之以理、动之以“行”、持之以恒。四、意外错误，反客为主动态生成的课堂中，学生出现的错误资源可以是预设的，也可以是非预设的，但总体说来，非预设的一般会更多些。前者由于意料之中，应对策略胸有成竹，处理也就得心应手。后者意料之外，不同学生各异的成长经历、生活经验、知识背景等因素，导致思维的结果可能大相径庭，产生的意外错误也可能是有创造性的、古怪的、偏僻的等各种情况，防不胜防。例如教学分数的意义时，教师让学生说说怎样写一个分数，并说出这样写的理由。一位学生认为应该从下往上写，问他理由时他竟然说：“没有妈哪来的儿子”，顿时教室里哄堂大笑，。教师鼓励他继续说下去，他说：“分母表示平均分的份数，分子表示所取的份数，先有平均分的份数才能有所取的份数，所以把平均分的份数叫做分母，把取的份数叫分子，不就像先有妈后有儿子吗？”显然这个同学的书写顺序与课本中的规定相悖，但这位同学的理由也挺有创造性的。课后笔者与教者交谈时问及此情境：“没有妈哪来的儿子你事先是否已预设到？”他说：“周老师，说实话我原来根本没想到学生会说这样的理由，顿时我也没好的应对办法，就让学生继续说下去。如果这生说不好，打算再叫其他生发表意见。”我们不但为这一环节的如此完美感叹不已，更为这位老师对待意外的临场应变叫绝。也提醒我们在课堂中如果一时来不及解读学生的发言、整理自己的思绪，不妨采用以退为进、反守为攻、反客为主的策略，即把学生的观点抛给其他学生，聆听他们对此观点的看法，试图从学生处萌发灵感，争取时间运筹帷幄、处理得体。这样，既可避免考虑不周显得惊惶失措盲下结论，造成课堂尴尬；又可照顾全体学生。值得注意，并不是所有的错误都可作为课堂资源利用，也不是所有可以作为资源的错误都要当堂处理，关键看是否服从和服务于本课的学习目标。五、再次出错，因错制宜平时经常听到老师的呼唤：“这道数学题我讲了这么多遍，学生还是做不对，还是出错。”学生的这种错误是再次出错，造成这种错误的原因，可能是知识性错误和方法性错误引起的，也可能是习惯性错误和偶然性错误派生出来的。建构主义认为，学生对错误的纠正和理解不能期望单纯依靠正面的示范和反复练习就能达到，主要是一个“自我否定”的过程，并以学生主体内在的“观念冲突”为主要前提。对于前者我们要设身处地站在学生角度深入分析原因，找到病症。因为明白人明白的算理是一样的，不明白的人却各有各的困惑。单凭正面引导有时很难达到预期目标，教师只有明白了学生的困惑，合理利用差错制造一个利于学生形成认知冲突，促成“自我否定”的教学场，让学生从知识源头予以杜绝，并且“知其然，知其所以然”。至于后者，首先要帮助学生认识到要“吃一堑，长一智”的道理，尽量不犯同样的差错。其次可以适当施以批评教育，俗话说：“无方不成圆”，同样没有批评的教育不是完整的教育。这样褒贬结合、因错制宜，让学生从正反、成败、羞荣等多渠道认识、体验、行动，最大程度上减少甚至避免再次错误的出现。由上看出，每个错误资源的不同处理策略，折射了教师不同的理念，每一个行为都是一种智慧的体现，每一个细节的深处都有着我们最原始、最纯真的想法。只有我们树立正确的错误资源观，变错误为资源，化腐朽为神奇，为开展教学活动、解决教学问题服务。针对不对类型的差错，遵照“一切为了学生的全面发展为本的思想”，审时度势、因势利导予以引领，尽量留给学生更多自我发现的时间和空间，给予学生主动改正错误的机会，赋予学生战胜困难的信心，便能映射出学生无限的创造与智慧，这就是引领错误资源的真谛。参考文献：1、郑毓信国际视角下的小学数学教育 人民教育出版社2004年1月2、华应龙课堂差错资源化 福建教育小学版2006年第一期