2015年成人高考~-数学复习资料(高起专).doc

|2014 年成人高考-数学知识提纲数学复习资料1.集合：会用列举法、描述法表示集合，会集合的交、并、补运算，能借助数轴解决集合运算的问题，具体参看课本例 2、4、5.2.充分必要条件要分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若 ，则 A 是 B 的充分条件；若 ，则 A 是 B 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件。B例 1：对“充分必要条件”的理解.请看两个例子：（1） “ ”是“ ”的什么条件？29x3x（2） 是 的什么条件？5我们知道，若 ，则 A 是 B 的充分条件，若 “ ”，则 A 是 B 的必要条件，但这种只记住定义的理解还不够，必须有自己的理解语言：“若 ，即是 A能推出 B”，但这样还不够具体形象，因为“推出”指的是什么还不明确；即使借助数轴、文氏图，也还是“抽象”的；如果用“A 中的所有元素能满足 B”的自然语言去理解，基本能深刻把握“充分必要条件”的内容.本例中， 即集合 ，当中29x3,的元素 不能满足或者说不属于 ，但 的元素能满足或者说属于 .假设33，则满足“ ”，故“ ”是“ ”的必要非|,9|2xBxAAB2xx充分条件，同理 是 的必要非充分条件. 53.直角坐标系 注意某一点关于坐标轴、坐标原点、 的坐标的写法。如,y点（2，3）关于 轴对称坐标为（2，-3） ，点（2，3）关于 轴对称坐标为（-2，3） ，y点（2，3）关于原点对称坐标为（-2，-3） ，点（2，3）关于 轴对称坐标为（3，2） ，x点（2，3）关于 轴对称坐标为（-3，-2） ，4.函数的三要素：定义域、值域、对应法则，如果两个函数三要素相同，则是相同函数。5.会求函数的定义域，做 21 页第一大题6.函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性性、周期是重要的研究内容，尤其是定义域、一次和二次函数的解析式，单调性最重要。7. 函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （()0fx()1fx） 。图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。()0fx y常见奇函数： ，指数是奇数1335,sin,tayxyxy|常见偶函数： 220,cosykxyxy一些规律：两个奇函数相加或者相减还是奇函数，两个偶函数相加或者相减还是偶函数，但是两种函数加减就是非奇非偶，两种函数乘除是奇函数，例如是奇函数.sintacoxy（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若 为偶函数，则 .()fx()(|)fxfx奇函数 定义域中含有 0，则必有 .故 是 为奇函数的既不充0f()0f()fx分也不必要条件。8.函数的单调性：一般用来比较大小，而且主要用来比较指数函数、对数函数的大小，此外，反比例函数、一次函数、二次函数的单调性也比较重要，要熟记他们的图像的分布和走势。熟记课本第 11 页至 13 页的图和相关结论。一次函数、反比例函数 p17 例 5 p20 例 89.二次函数表达形式有三种：一般式： ；顶点式：2()fxabc；零点式： ，要会根据已知条件的特点，灵活地选用2()fxamn12()fxa二次函数的表达形式。课本中的 p17 例 5（4） 例 6、例 7，例 10 例 11；习题 p23 8、9、10、1110.一元一次不等式的解法关键是化为 ，再把 的系数化为 1，注意乘以或者xbx除以一个负数不等号的方向要改变；一元一次不等式组最后取个不等式的交集，即数轴上的公共部分。做 p42 4、5、6 大题11.绝对值不等式只要求会做： 和|acac或者 ，一定会去绝对值符号。做 p43 7|axbcaxb12.一元二次不等式是重点，阅读课文 33 至 34 的图表及 39 至 42 页的例题。做 43页 8、9、10、11、12设 , 是方程 的两实根，且 ，则其解集如下表：012x20xc12x0abcabx0abc20axbc或|2或1|21|12|0|xaR |xaR R 对于方程 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数 是否为 0，02cba其次若 ，则一定有 。042c13. 数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列 的前 n 项的和为 ).1,2nnsaa12nnsa等差数列的通项公式 ；*11)()dN|其前 n 项和公式为 .1()2nnas1()2d21()nadn等比数列的通项公式 ；*1qN其前 n 项的和公式为 或 .1(),nnas1,nnqsa14. 等差数列的性质：（1）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有mpqqpnma2mnp2na(2) 若 、是等差数列，也成等差数列232,nnnSS（3）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时，a2nSnd偶 奇 21n， （这里 即 ） ； 。奇 偶 中 21()n中 a中 :(1):奇 偶 k(4)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .nmab15.等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判n断公比 是否为 1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为 1 时，qq q要对 分 和 两种情形讨论求解。16.等比数列的性质：（1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则有mnpmnpqaA2np. 2naA(2) 若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，也是等比数列。1232,nnnSS当 ，且 为偶数时，数列 ，是常数数列 0，它不是等比数1q23,nnS列. (3) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时，naSq偶 奇 21n.1Sa奇 偶(4)数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列n na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。n这一章主要是找数字的规律，写出数列通项公式，但对等差和等比数列要求比较高，会有较大的比重，出解答题，48 页起的例 2、3、4、5 是基础题，例 6、7、8、9 是中档题目，例 10、11、12 是综合题。最要紧做 55 页的题目。17. 导数的几何意义：曲线 yf（x）在点 P（ x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，).(0xf切线方程是 );(00xfy18.导数的应用：|（1）利用导数判断函数的单调性：设函数 yf（x）在某个区间内可导，如果 那么 f(x)为增函数；如果 那么 f(x)为减函数；,0)(xf ,0)(如果在某个区间内恒有 f(x)为常数；,0)(xf（2）求可导函数极值的步骤：求导数 ；求方程 的根；检验)(xf 0)(xf在方程 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数 y=f(x)在这个根处取)(xf)(xf得最大值；如果左负右正，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值。19.本章重点是求曲线在一点处的切线方程和多项式的导数，会求函数最大值最小值和极值。课本 61 页例1、3、4、5 和 64 页习题要过一过关。20.三角函数 本章出 2 个小题，1 个大题，不是重点内容1 象限角的概念：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。2.弧长公式： ，扇形面积公式：|lR，1 弧度(1rad) .2S5733、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一点(,)xy（异于原点） ，它与原点的距离是 ，那么 ， ，20rxysin,cosyxrrtan,0yxcotxy(0)4.特殊角的三角函数值：1 0 -1 0 cos32262430° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°sin1230 1 0 1 624ta31 0 0 2-32+ 3性质 sinxcosxtanx图像的来源及图像95 页图 3.1 95 页图3.195 页图3.1定义域96 页表格 96 页表格 96 页表格值域 96 页表格 96 页表格 96 页表格|5.三角函数的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。6.基本公式:1常见三角不等式（1）若 ，则(0,)2x.sinta(2) 若 ，则(,).1icosx(3) .|12.同角三角函数的基本关系式 ， = ，22sintancosi.tacot3.正弦、余弦的诱导公式（参看课本 77-78页）注意规律：横不变名竖变名，正负看象限（1）负角变正角，再写成 2k + , ；02(2)转化为锐角三角函数。4.和角与差角公式; ;sin()sicosincos()csosin. = (辅助角 所在象限由点tanta1tab2i)ab的象限决定, ).()b5.二倍角公式 ，sin2icos2222cosincos1sin.2tata16.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR( A, 为常数，且 A0，0)的周期si()yxcs()yx；T函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周期 .tan(),2kZT重要例题：96 至 101 的例 1 到例 521.解三角形就完成模拟试题的相关习题即可。22.平面向量 看 125 页例 1、2、4、5、6 及习题 1、2、3实数与向量的积的运算律：设 、 为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2.向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a （交换律）;单调性及递增递减区间96 页表格 96 页表格 96 页表格周期性及奇偶性95、96 页表格 95、96 页表格9596 页表格对称轴不要求 不要求 不要求对称中心不要求 不要求 不要求最值及指定区间的最值95 页表格 95 页表格 95 页表格简单三角方程和不等式不要求 不要求 不要求|(2)（ a）·b= （ a·b）= a·b= a·（ b）;(3)（ a+b）·c= a ·c +b·c.切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，4.向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，1)xy2(,)则 a b(b 0) .A11xy5.a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a|b|cos6. a·b 的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos 的乘积7.平面向量的坐标运算(1)设 a= ,b= ，则 a+b= .1()xy2(12(,)xy(2)设 a= ,b= ，则 a-b= . )(3)设 A ，B ,则 .21()Oy(4)设 a= ，则 a= .(,)xyR(,x(5)设 a= ,b= ，则 a·b= .1)12)y8.两向量的夹角公式(a= ,b= ).2121cosxy1)2(9.平面两点间的距离公式(A ，B ).xy=,ABd|2211()10.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，1()xy2,则 A|b b=a .121xya b(a 0) a·b=0 .11.“按向量平移”：点 按向量 a= 平移后得到点 .(,)P(,)hk'(,)Pxhyk23. 直线方程（重点章节） 看 132 至 135 页例 1、2、31.直线的五种方程 （1）点斜式 1()ykx(直线 过点 ，且斜率为 )l,（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).bl（3）两点式( )( 、 ( ).12y1(,Px2,)x12x112yx(4)截距式 ( 为直线横纵截距， （5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).xab、 0ab、 0AC2.两条直线的平行和垂直 (1)若 ，11:lyk22:lykx ; .2|,11l(2)若 , ,且 A1、 A2、B 1、B 2 都不为零,:0lAxBC:0AByC； ；11122| 212l3.点到直线的距离 0|xd|(点 ,直线 ： ).0)Pxyl0AxByC4. 圆的四种方程 做一做第 153 页练习 1、2、3（1）圆的标准方程 .22()()abr（2）圆的一般方程 DEF( 0).24DEF5.直线与圆的位置关系直线 与圆 的位置关系有三种:0CByAx 22)(rbyax;交rd;.其中 .交 2BACd二基础知识:(一)椭圆及其标准方程 p159 例 1、例 21.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于| |这个条件不可忽视.若这个F1F2距离之和小于| |，则这样的点不存在；若距离之和等于| |，则动点的轨迹是线段 .1F2 1F22.椭圆的标准方程：（ 0）ab2byax2x3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的2x2y分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.3 椭圆的简单几何性质（ 0）.ab椭圆的几何性质：设椭圆方程 12线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，1A21B2离心率： 0e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆ace2就越接近于圆.4 双曲线及其标准方程 p167 例 1、例 2双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于| |）1F1F2的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a| |，这一条件可以用“三角形M1F2的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| |，则动点的轨迹是两条射线；若 2a| |，2则无轨迹.若 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 时，轨迹为双1F2 1M2曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 项的系数2x y是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.5.双曲线的简单几何性质双曲线 实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 离心率 e 越大，开口12bx ace21b越大.双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线2yaxaby02y|方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式： ，其xnmy0ny kynxm22中 k 是一个不为零的常数.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12ba20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .xy0y2(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上，12ba 2byax0，焦点在 y 轴上）.0抛物线 p175 页表格，176 页例 1、例 2、例 4