不定积分的换元积分法.ppt

设设则则第二节第二节 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论形式不同观察重点不同，所得结论形式不同.定理定理1 1例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例例2.求求解解:令令则故原式原式=注注:当时注意换回原变量一般地一般地例例3.求求解解:令则想到公式例例4.求求想到解解:(直接配元)例例5.求求解解:类似例例6.求求解解:原式原式=常用的几种配元形式:万能凑幂法例7.求求解解:原式=例8.求求解解:原式=例例9.求解解:原式=例例10.求求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样例例11.求求解法解法1 解法解法 2 同样可证同样可证或或解解法法1解解法法2例例1212 求求解解例例1313 求求解解例例1414 求求解解例例1515 求求原式原式例例16.求求解解:原式=例例1717 求求解解例例18.求求解解:例例1919 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例2020 求求解解解解例例2121 设设 求求 .令令例例2222 求求解解例例23.求求解解:原式=分析分析:例例24.求求解解:原式原式思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2.求求提示提示:法法1法法2法法3问题问题解决方法解决方法令令二、第二类换元法二、第二类换元法设设 为为 的原函数的原函数,则则难求难求，怎么办怎么办?定理2.设设是单调可导函数,且具有原函数,证证:令则则有换元公式例例1.求求解解:令则 原式例例2 2 求求解解 令令例例3 3 求求解解 令令例例4.求求解解:令则 原式令于是说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中,令令 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例5 5 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解例例6 6 求求解解 令令说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例7 7 求求令令解解法二法二例例8 8 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）原式例例9.求求解解:令则原式 当 x 0 时,类似可得同样结果.说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例1010 求求解解令令基基本本积积分分表表(2(2)解解:原式例例11.求求例例12.求解解:例例13.求求解解:原式=例例14.求解解:原式例15.已知已知求解解:两边求导,得则(代回原变量代回原变量)三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)思考题思考题求积分求积分思考题解答思考题解答备用题 1.求下列积分求下列积分:2.求不定积分求不定积分解：解：利用利用凑微分法凑微分法,原式=令得得分子分母同除以3.求不定积分求不定积分解解:令原式练练 习习 题题练习题答案练习题答案