D10习题课曲线曲面积分.ppt
习题课一、一、曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十章 定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式各种积分之间的联系各种积分之间的联系联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）（三）场论初步场论初步一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算其中L为圆周提示提示:利用极坐标,原式=说明说明:若用参数方程计算,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习:P184 3(1)P184 3(3).计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 3(6).计算其中由平面 y=z 截球面提示提示:因在 上有故原式=从 z 轴正向看沿逆时针方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧基本技巧机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算其中 为曲线解解:利用对称性(区域中x,y,z地位相同),有利用重心公式知(的重心在原点)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路思路:闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式第二类曲线积分第二类曲线积分解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 L是上半圆思考题解答思考题解答:(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 P185 6.设在右半平面 x 0 内,力构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量 代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.基本技巧基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:P185 题题4(3)其中 为半球面的上侧.且取下侧,提示提示:以半球底面原式=P185 题题4(2),P185 题题 9 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面,利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算曲面积分其中,解解:思考思考:本题 改为椭球面时,应如何计算?提示提示:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束(思想类似于P146-例4)曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，例例6.计算曲面积分中 是球面解解:利用对称性用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算 解解:记 为平面上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.由斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束 D 的形心机动 目录 上页 下页 返回 结束 轮换(转)对称性例如:平面积分区域关于 x=y 对称回忆如 f(x,y)=f(y,x),则在xy区域上加倍 如 f(x,y)=-f(y,x),则积分为0推广到三元函数的积分推广到三元函数的积分:空间区域关于变量是轮换对称的即作替换后不变;如果被积函数也是轮换对称的,(1)(2)即,例如,前例中 为曲线利用轮换对称性,有 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,例例.设S 是球面的外侧,计算解解:利用轮换对称性,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 求求取外侧.如已算如已算:其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用轮换对称性
