D85隐函数的求导公式.ppt
第八章第八章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组及其导数及其导数及其导数及其导数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 两边对 x 求导在则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令连续;由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 直接法 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 两边对 x 求偏导同样可得则设是由方程所确定的隐函数,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2.设解法解法1 直接法再对 x 求导方程两边同时对方程两边同时对x求导得求导得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 解法解法2 公式法设则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 解法解法3 微分法方程 两边求微分得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法解法1 公式法确定的隐函数,则已知方程故 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 对方程两边求微分:解法解法2 微分法.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理证明略.仅推导偏导数公式如下(P35)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内解方程组即得以上公式.系数行列式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4.设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习:求答案答案:由题设有 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算方法2.利用微分形式不变性方法3.代公式 思考与练习思考与练习设求直接法微分法公式法 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 提示提示:v v v 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.由d y,d z 的系数即可得 备用题 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 备用题备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解解:(2001考研)解得因此 两个隐函数方程两边对 x 求导,得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2.设是由方程和所确定的函数,求解解:分别在各方程两端对 x 求导,得(1999考研)作业 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积 分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微 分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.
