D55反常积分审敛法.ppt

二、无界函数反常二、无界函数反常积分的分的审敛法法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无一、无穷限反常限反常积分的分的审敛法法机动目录上页下页返回结束反常积分的审敛法 函数 第五五章 一、无一、无穷限反常限反常积分的分的审敛法法定理定理1.若函数机动目录上页下页返回结束证:根据极限收敛准则知 存在,定理定理2.(比较审敛原理)且对充,则机动目录上页下页返回结束证:不失一般性,因此 单调递增有上界函数,机动目录上页下页返回结束说明明:已知得下列比较审敛法.极限存在,定理定理3.(比较审敛法 1)机动目录上页下页返回结束例例1.判别反常积分解解:的敛散性.机动目录上页下页返回结束由比较审敛法 1 可知原积分收敛.思考思考题:讨论反常积分的敛散性.提示提示:当 x1 时,利用 可知原积分发散.定理定理4.(极限审敛法1)机动目录上页下页返回结束则有:1)当2)当证:根据极限定义,对取定的当 x 充分大时,必有,即满足当机动目录上页下页返回结束可取必有即注意注意:此极限的大小刻画了例例2.判别反常积分的敛散性.解解:机动目录上页下页返回结束根据极限审敛法 1,该积分收敛.例例3.判别反常积分的敛散性.解解:根据极限审敛法 1,该积分发散.定理定理5.机动目录上页下页返回结束证：则而定定义.设反常积分机动目录上页下页返回结束则称绝对收敛;则称条件收敛.例例4.判断反常积分的敛散性.解解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常二、无界函数反常积分的分的审敛法法机动目录上页下页返回结束由定义 例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.定理定理6.(比较审敛法 2)定理3目录上页下页返回结束瑕点,有有利用有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.使对一切充分接近 a 的 x(x a).定理定理7.(极限审敛法2)定理4目录上页下页返回结束则有:1)当2)当例例5.判别反常积分解解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.例例6.判定椭圆积分定理4目录上页下页返回结束散性.解解:由于 的敛根据极限审敛法 2,椭圆积分收敛.类似定理5,有下列结论:机动目录上页下页返回结束例例7.判别反常积分的敛散性.解解:称为绝对收敛.故对充分小从而 据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分 三、三、函数函数1.定定义机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在内收敛.令机动目录上页下页返回结束综上所述,2.性性质(1)递推公式机动目录上页下页返回结束证:(分部积分)注意到:(2)机动目录上页下页返回结束证:(3)余元公式:(证明略)(4)机动目录上页下页返回结束得应用中常见的积分这表明左端的积分可用 函数来计算.例如,内容小内容小结 1.两类反常积分的比比较审敛法法和极限极限审敛法法.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课目录上页下页返回结束可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.函数的定义及性质.思考与思考与练习P263 题1(1),(2),(6),(7)P264 题5(1),(2)作作业P263 1(3),(4),(5),(8)2;3