多元函数微分法在几何上的应用.ppt

多元函数微分法在几何上的应用多元函数微分法在几何上的应用一一 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面二二 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线1一一 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面1 空间曲线空间曲线C的方程为的方程为设点设点它所对应它所对应的参数是的参数是，则曲线，则曲线C在点在点M处的切处的切线方程是线方程是其中其中称为称为曲线曲线C在点在点M处的切向量。处的切向量。2证证设点设点P的坐标是的坐标是它所对应的参数是它所对应的参数是，则割线则割线MP的方程是的方程是可改写为可改写为让让即即便有便有3曲线曲线C在点在点M处的法平面是过点处的法平面是过点M且垂直于切线的平面，且垂直于切线的平面，它的方程为它的方程为4例例1 求螺旋线求螺旋线在点在点处的切线与法平面方程。处的切线与法平面方程。解解 点点所对应的参数为所对应的参数为因此螺旋线因此螺旋线在点在点处的切向量为处的切向量为所以切线方程是所以切线方程是法平面方程是法平面方程是即即5解解所以切线方程是所以切线方程是法平面方程是法平面方程是在在处的切线与法平面方程。处的切线与法平面方程。例例2 求曲线求曲线因此切向量因此切向量即即62 空间曲线空间曲线C的方程为的方程为不妨设不妨设确定确定则曲线则曲线C在点在点处的切向量是处的切向量是7例例3 求曲线求曲线在点在点处的切线方程。处的切线方程。解解，解得，解得因此曲线在点因此曲线在点处的切向量处的切向量所以切线方程是所以切线方程是8例例4 求曲线求曲线在点在点处的切线方程。处的切线方程。解解 方法一方法一，解得，解得因此曲线在点因此曲线在点处的切向量处的切向量所以切线方程是所以切线方程是9方法二方法二曲线的一般方程可以化为参数方程曲线的一般方程可以化为参数方程因此曲线在点因此曲线在点处的切向量处的切向量所以切线方程是所以切线方程是10二二 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线1 曲面曲面 的方程为的方程为设点设点则曲面则曲面在点在点处的切平面方程是处的切平面方程是其中其中称为曲面称为曲面在点在点处的法向量。处的法向量。11证证在曲面在曲面 上任意做一条过点上任意做一条过点 的曲线的曲线，不妨设，不妨设曲线曲线的方程为的方程为点点所对应的所对应的参数为参数为，则曲线，则曲线在点在点处的切向量是处的切向量是由于由于所以所以两边对两边对 求导得求导得特别取特别取有有12即即这说明曲面这说明曲面上任意过点上任意过点的曲线的曲线在点在点处的切线是在同一个平面上，处的切线是在同一个平面上，且这个平面的法向量是且这个平面的法向量是，这个平面就是曲面，这个平面就是曲面在点在点处的切平面。处的切平面。13曲面曲面在点在点的法线是过点的法线是过点垂直于切平面的垂直于切平面的的直线，的直线，它的方程是它的方程是14例例5 求曲面求曲面在点在点处的处的切平面与法线。切平面与法线。解解 记记则则切平面方程是切平面方程是即即法线方程是法线方程是152 曲面曲面的方程为的方程为曲面曲面在点在点处的法向量为处的法向量为或者或者（指向向下）（指向向下）（指向向上）（指向向上）切平面方程切平面方程（可据此方程解释全微分的几何意义）（可据此方程解释全微分的几何意义）16例例6 求曲面求曲面在点在点处的切平面方程。处的切平面方程。解解切平面方程是切平面方程是即即17解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得法向量为法向量为例例7 求曲面求曲面平行于平面平行于平面的切平面方程。的切平面方程。18因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)(1)切平面方程切平面方程(2)(2)19例例8 8 证明曲面证明曲面上任意一点处的切平面和三上任意一点处的切平面和三坐标面所围的四面体的体积为定数。坐标面所围的四面体的体积为定数。解解设设为曲面为曲面上任意一点，上任意一点，则在则在点处切面的法向量为点处切面的法向量为且且切平面方程为切平面方程为化为截距式化为截距式所以所以20注：注：空间曲线空间曲线C的方程为的方程为（曲面（曲面）（曲面（曲面），则空间曲线则空间曲线C在点在点M处的切向量处的切向量可以取为这两个曲面可以取为这两个曲面的法向量的向量积，的法向量的向量积，即即21