常数项级数概念与性质.ppt

一、问题的提出一、问题的提出1.1.计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积二、级数的概念二、级数的概念1.1.级数的定义级数的定义:(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列级数的部分和级数的部分和2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:余项余项无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推播放播放周长为周长为面积为面积为第第 次分叉：次分叉：于是有于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）解解 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上解解三、基本性质三、基本性质结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证明证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证明证明注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛收敛 发散发散四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件证明证明级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.讨论讨论8项4项2项2项 项由性质由性质4 4推论推论,调和级数发散调和级数发散.五、小结五、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法思考题思考题思考题解答思考题解答能能由数列的夹逼准则可得由数列的夹逼准则可得练习题练习题练习题答案练习题答案