线性代数课件14行列式习题.ppt

第一章第一章 习题课习题课 本章主要知识点：本章主要知识点：1 1、行列式定义行列式定义 2 2、行列式性质行列式性质 3 3、按行按列展开法则按行按列展开法则 4 4、Cramer Cramer法则法则一、计算逆序数一、计算逆序数例例1 1 计算下列排列的逆序数，并指出奇偶性计算下列排列的逆序数，并指出奇偶性.0 01 11 12 22 23 33 3于是排列的逆序数为于是排列的逆序数为为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式用定义计算（证明）用定义计算（证明）例用行列式定义计算例用行列式定义计算解解评注评注本例是从一般项入手，将行标按本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法的一般方法注意注意例设例设证明证明本题证明两个行列式相等，即证明两点本题证明两个行列式相等，即证明两点:评注评注一是两个行列式有完全相同的项，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同二是每一项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法2用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例4 4计算计算评注评注 本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式逐步将所给行列式化为三角形行列式 若所给行列式中元素间具有某些特点，则若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的到化为三角形行列式之目的 化零时一般尽量选含有的行（列）及含零化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；3 用按行按列展开法则降阶计算用按行按列展开法则降阶计算例例5 5计算计算评注评注评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的本题是利用行列式的性质将所给行列式的本题是利用行列式的性质将所给行列式的本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1 1 1 1阶，阶，阶，阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用行列式比较适用行列式比较适用行列式比较适用4 4 用拆成行列式之和计算用拆成行列式之和计算例例6 6解解一共能拆成一共能拆成个行列式的和，如果两列都取为个行列式的和，如果两列都取为全为全为的列，则对应的行列式为的列，则对应的行列式为0，故，故评注评注 本题利用行列式的性质：某行（列）写成本题利用行列式的性质：某行（列）写成两数之和，则行列式可以拆成两个行列式之和两数之和，则行列式可以拆成两个行列式之和 根据题中元素特点，部分行列式值为零，根据题中元素特点，部分行列式值为零，只需找全不为零的行列式计算它们的和即可只需找全不为零的行列式计算它们的和即可.进一步有：如果进一步有：如果n阶行列式每个元素都是两阶行列式每个元素都是两数之和，则行列式可以拆成数之和，则行列式可以拆成个行列式的和；个行列式的和；5 5 用数学归纳法用数学归纳法例例7 7证明证明证证对阶数对阶数n n用数学归纳法用数学归纳法评注评注 一般来讲，当行列式已告诉其结果，而要我一般来讲，当行列式已告诉其结果，而要我们们 证明是与自然数有关的结论时，可考虑用数证明是与自然数有关的结论时，可考虑用数学归纳法来证明学归纳法来证明.如果为告诉结果，也可先猜想如果为告诉结果，也可先猜想其结果，然后用数学归纳法证明其猜想结果成立其结果，然后用数学归纳法证明其猜想结果成立.为了将为了将展开成能用其同型的展开成能用其同型的表示表示本例必须按第本例必须按第n行（或第行（或第n n列）展开，不能按第列）展开，不能按第1行行（或第或第1列）展开，否则所得的低阶行列式不是与列）展开，否则所得的低阶行列式不是与同型的行列式同型的行列式.6 利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元素本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式将此行列式化成范德蒙行列式小结小结计算行列式的方法比较灵活，同一行列式计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用种方法综合应用 在计算时，首先要仔细考察行列式在构造在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法再考察它是否能用常用的几种方法三、三、Cramer 法则法则补充练习：补充练习：一、填空题一、填空题二、计算二、计算有非零解？有非零解？求求补充练习：补充练习：一、填空题一、填空题二、计算二、计算有非零解？有非零解？