矩阵求逆和线性方程组.ppt

线性方程组有解的判定条件线性方程组有解的判定条件问题：问题：有唯一解有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR 0;|A|不等于0A不等于0Rank(A)=n;A*可逆;A的行向量线性无关;A等价于单位矩阵;A可以表示成若干个初等矩阵的乘积A仅通过行初等变换就可以变成单位矩阵A可以写成两个可逆矩阵的乘积AX=0只有零解AX=b有唯一解A没有零特征值A的任何幂次都不等于零线性方程组线性方程组能够熟练判定线性方程组解的情况；能够熟练求出线性方程组的解通式；能够利用解的判定定理解决一些证明；理解两个线性方程组同解的条件；掌握非齐次线性方程组的解与其相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系线性方程组线性方程组非齐次线性方程组AX=b;导出组AX=0齐次线性方程组线线 性性 方方 程程 组组一一.主要结论主要结论1.有解的充分且必要条件是有解的充分且必要条件是 增广矩阵化为阶梯阵后的最后一个非零行的首元增广矩阵化为阶梯阵后的最后一个非零行的首元素不出现在最后一列素不出现在最后一列。2.AX=O 一定有解：一定有解：r(A)=n 时，时，AX=O 有唯一零解；有唯一零解；r(A)n 时，时，AX=O 有无穷多解；有无穷多解；特别，当特别，当m=n 时，时，A的行列式为零时，有无穷多解；的行列式为零时，有无穷多解；A的行列式不为零时，有唯一零解。的行列式不为零时，有唯一零解。3.当当AX=O 有无穷多解时，若其解空间的维数有无穷多解时，若其解空间的维数为为 n-r,即其基础解系为即其基础解系为时，其通解为时，其通解为 4.当当AX=b 有无穷多解时，其通解为有无穷多解时，其通解为5.AX=b,AX=O 解的关系：解的关系：AX=b 的一个解与的一个解与AX=O 的的 一个一个 解之和，解之和，必为必为AX=b 的一个解；的一个解；AX=b 的两个解之差，必为的两个解之差，必为AX=O 的一个解的一个解.二二.解法解法1.AX=O 解法解法A的行变换法（保留方程法）；的行变换法（保留方程法）；2.AX=b 解法解法 的行变换法（保留方程法）的行变换法（保留方程法）.矩阵的秩矩阵的秩1.定义及求法定义及求法定义矩阵定义矩阵A非零子式的最高阶数称为它的非零子式的最高阶数称为它的秩，并用秩，并用 r（A）表示。表示。我们有我们有 r（A）min（m,n）;r（A）=0,当且仅当当且仅当 A=O;求求r（A）我们依据下面的定理：我们依据下面的定理：【定理】初等变换不改变矩阵的秩。（用行变换【定理】初等变换不改变矩阵的秩。（用行变换化矩阵为阶梯阵，即可由非零阶梯的个数求得）化矩阵为阶梯阵，即可由非零阶梯的个数求得）2.关于矩阵秩的几个重要结论关于矩阵秩的几个重要结论 r(AB)min r(A),r(B);若若A可逆，则可逆，则 r(AB)=r(B)，若若B可逆，则可逆，则 r(AB)=r(A);max r(A),r(B)r(A,B)r(A)+r(B);r(A)-r(B)r(A+B)r(A)+r(B);A为为sn,B为为nt时，时，r(AB)r(A)+r(B)n;A为为sn,B为为nt时，时，且且AB=O时，时，r(A)+r(B)n。（0）矩阵的秩）矩阵的秩=矩阵的行秩矩阵的行秩=矩阵的列秩。矩阵的列秩。