《偏微分方程的解法》PPT课件.ppt
5.2 5.2 一阶微分方程一阶微分方程主要内容主要内容:1.1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 2.2.齐次型微分方程齐次型微分方程3.3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程1 1一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程 1.1.定义定义 其中其中f(x),g(y)分别是分别是 x,y 的连续函数的连续函数 2.2.分离变量法分离变量法 把方程中的两个变量分离开来，使方程的一边只含有把方程中的两个变量分离开来，使方程的一边只含有 y 的的函数及函数及dy，另一边只含有，另一边只含有 x 的函数及的函数及 dx，然后两边积分，从，然后两边积分，从而求出微分方程的解而求出微分方程的解 这种方法称为分离变量法这种方法称为分离变量法 形如形如 （1）的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程.2 23 3步骤步骤(1)分离变量，得分离变量，得(2)两边积分，得两边积分，得(3)求得积分，得求得积分，得 3 3解解 分离变量，得分离变量，得 两边积分，得两边积分，得 得得 即即 得方程的通解为得方程的通解为 例例1 14 4例例 解解 分离变量，得分离变量，得 两边积分，两边积分，得得化简，得化简，得 于是所求微分方程的特解为于是所求微分方程的特解为 原方程可化为原方程可化为5 5二、齐次型微分方程二、齐次型微分方程 1.1.定义定义形如形如的微分方程的微分方程，称为称为齐次型微分方程齐次型微分方程 因为方程可化为因为方程可化为 6 62 2解法解法在方程在方程 (2)中，引进新的未知函数中，引进新的未知函数 代入方程代入方程(2)，便得可分离变量方程，便得可分离变量方程 即即 两边积分，得两边积分，得 求出积分后，求出积分后，即得所求齐次型微分方程即得所求齐次型微分方程的通解的通解 7 7例例3 3 解解 原方程可化为原方程可化为 它是齐次型微分方程它是齐次型微分方程 代入原方程，得代入原方程，得分离变量，得分离变量，得 两边积分，得两边积分，得 即即 这就是所求微分方程的通解这就是所求微分方程的通解 8 8三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程 1 1、定义、定义方程（方程（3）称为）称为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 方程（方程（3）称为一阶线性齐次微分方程）称为一阶线性齐次微分方程方程方程 称为称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程，(3)9 92 2、一阶线性齐次微分方程的通解、一阶线性齐次微分方程的通解先讨论一阶线性齐次微分方程先讨论一阶线性齐次微分方程（4）的通解的通解 显然，方程（显然，方程（4）是可分离变量方程）是可分离变量方程 分离变量后，得分离变量后，得 两边积分，得两边积分，得 这就是一阶线性齐次微分方程这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式的通解公式 注意注意即即(5-1)在用上式进行具体运算时，其中的不定积分在用上式进行具体运算时，其中的不定积分只表示只表示P(x)一个确定的函数一个确定的函数.10103 3、一阶线性非齐次微分方程的解法、一阶线性非齐次微分方程的解法常数变易法常数变易法(5)由方程特点，由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为设一阶线性非齐次微分方程的通解为对对（5）式）式求导得求导得(6)将将(5)和和(6)代入方程代入方程(3)并整理得并整理得 由此可得由此可得 将上式代入将上式代入(5)式，得式，得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为(5-2)1111 公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的一个原函数一个原函数 这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变易这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解的方法称为为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解的方法称为常数变易法常数变易法公式公式(5-2)也可写成下面的形式也可写成下面的形式 (7)由此可知由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和解与对应的齐次方程的通解之和 注意注意:1212例例4 4 解解1 1 (常数变易法)对应的线性齐次方程对应的线性齐次方程为为用分离变量法求得它的通解为用分离变量法求得它的通解为 将上式中的任意常数将上式中的任意常数C 换成函数换成函数C(x)，即设原方程的通解为，即设原方程的通解为（8）则有则有 两边积分，得两边积分，得 再代入（再代入（8）式，即得所求方程的通解为）式，即得所求方程的通解为 1313解解2 2 (公式法公式法)代入公式（代入公式（5-25-2），得），得 1414例例5 5 解解 对应的齐次方程是对应的齐次方程是用分离变量法求得它的通解为用分离变量法求得它的通解为 用常数变易法，设非齐次方程的通解为用常数变易法，设非齐次方程的通解为 两边积分，得两边积分，得 因此，非齐次方程的通解为因此，非齐次方程的通解为 故所求微分方程的特解为故所求微分方程的特解为 1515例例6 6 解解 原方程可化为原方程可化为 将将x 看作看作y 的函数，则它是形如的函数，则它是形如 的一阶线性非齐次微分方程的一阶线性非齐次微分方程 于是由一阶线性非齐次方程的通解公式，得于是由一阶线性非齐次方程的通解公式，得 或或 这就是所求微分方程的通解这就是所求微分方程的通解 1616四、小结：四、小结：1.可分离变量的微分方程的特点、解法；可分离变量的微分方程的特点、解法；2.齐次型微分方程的特点、解法；齐次型微分方程的特点、解法；3.一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法,其中一阶线性齐次方程的通其中一阶线性齐次方程的通解公式解公式,一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式.作业作业:习题习题52 （2）（）（4），），3（3）4（1）5（3）（）（4）6（2）1717
