计算方法-方程组.ppt

5 5 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 1 1向量的范数向量的范数定义定义1 1：设设X R n，表示定义在表示定义在Rn上的一个实值函数上的一个实值函数，称之为称之为X的范数的范数，它具有下列性质它具有下列性质：（3）三角不等式三角不等式：即对任意两个向量即对任意两个向量X、Y R n，恒有恒有(1)(1)非负性非负性：即对一切即对一切X R n，X 0,0(2)(2)齐次性齐次性：即对任何实数即对任何实数a R，X R n，设设X=(x1,x2,xn)T，则有则有（1）（2）（3）三个常用的范数：三个常用的范数：定理定理6 6：在在Rn上定义的任一向量范数上定义的任一向量范数 都与范数都与范数 等价等价，即存在正数即存在正数 M 与与 m(Mm)对一切对一切X Rn，不等式不等式成立成立。推论推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。上定义的任何两个范数都是等价的。对常用范数，容易验证下列不等式：对常用范数，容易验证下列不等式：矩阵范数的基本性质：矩阵范数的基本性质：（1）当）当A=0时，时，0，当，当A 0时，时，0（2）对任意实数和任意对任意实数和任意A，有，有（3）对任意两个对任意两个n阶矩阵阶矩阵A、B有有（4）对任意两个对任意两个n阶矩阵阶矩阵A、B，有有2 2矩阵的范数矩阵的范数定义定义3：设设A为为n 阶方阵阶方阵，Rn中已定义了向量范数中已定义了向量范数 ，则称则称 为矩阵为矩阵A A的相容范数的相容范数，记为记为 。矩阵的相容范数：矩阵的相容范数：矩阵的矩阵的F范数：范数：定理定理8：设：设n 阶方阵阶方阵A=(aij)n n，则，则（）与）与 相容的矩阵范数是相容的矩阵范数是（）与）与 相容的矩阵范数是相容的矩阵范数是其中其中 1为矩阵为矩阵ATA的最大特征值。的最大特征值。（）与）与 相容的矩阵范数是相容的矩阵范数是矩阵相容范数的性质：矩阵相容范数的性质：（1）（2）对任意向量对任意向量X Rn，和任意矩阵和任意矩阵A，有有（3）求解求解 时，时，A 和和 的误差对解的误差对解 有何影响？有何影响？设设 A 精确，精确，有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即绝对误差放大因子绝对误差放大因子又又相对误差放大因子相对误差放大因子4.4.线性方程组的性态和解的误差分析线性方程组的性态和解的误差分析2 Error Analysis for .设设 精确，精确，A有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即 Wait a minute Who said that(I+A 1 A)is invertible?(只要只要 A充分小，使得充分小，使得 是关键是关键的误差放大因子，称为的误差放大因子，称为A的的条件数条件数，记为，记为cond(A),越越 则则 A 越病态，越病态，难得准确解。难得准确解。大大定义定义5：设：设A 为为n 阶非奇矩阵，称数阶非奇矩阵，称数 为矩阵为矩阵A的条件数，的条件数，条件数的性质：条件数的性质：）cond(A)1）cond(kA)=cond(A)k 为非零常数为非零常数）若）若 ，则则记为记为cond(A)。例：例：Hilbert 阵阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9 106cond(Hn)as n 注：注：一般判断矩阵是否病态，并不计算一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验，而由经验得出。得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。近似解的误差估计及改善：近似解的误差估计及改善：设设 的近似解为的近似解为，则一般有，则一般有cond(A)误差上限误差上限 改善方法：改善方法：Step 1:近似解近似解Step 2:Step 3:Step 4:若若 可被精确解出，则有可被精确解出，则有 就是精确解了。就是精确解了。经验表明经验表明：若：若 A 不是非常病态（例如：不是非常病态（例如：），则如），则如此迭代可达到机器精度；但若此迭代可达到机器精度；但若 A 病态，则此算法也不能改病态，则此算法也不能改进。进。