电路第6章二阶电路分析.ppt

6 6 二阶电路分析二阶电路分析 6 61 1 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 6 62 2 RLC串联电路在恒定激励下串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应的零状态响应和全响应 6 63 3 GCL并联电路分析并联电路分析 6 64 4 一般二阶电路分析一般二阶电路分析1二阶电路：由二阶微分方程描述的电二阶电路：由二阶微分方程描述的电路。路。分析二阶电路的方法：仍然是建立微分分析二阶电路的方法：仍然是建立微分方程方程(二阶二阶)，并利用初始条件求解得到，并利用初始条件求解得到电路的响应。电路的响应。它是一阶电路的推广它是一阶电路的推广。本章主要讨论含两个本章主要讨论含两个(独立独立)动态元件动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。零输入响应。2 为为了了得得到到图图示示RLC RLC 串串联联电电路路的的微微分分方方程程，先先列列出出KVLKVL方程方程 代元件代元件VCR VCR 得：得：6 61 1 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 3这是一个常系数非齐次线性二阶微分这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，方程。为了得到电路的零输入响应，令令uS S(t)=0(t)=0，得二阶齐次微分方程，得二阶齐次微分方程 其特征方程为其特征方程为 由此解得特征根由此解得特征根 4特征根称为电路的固有频率。当电路元特征根称为电路的固有频率。当电路元件参数件参数R,L,CR,L,C的量值不同时，特征根可的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：能出现以下三种情况：1 1 时，时，s s1 1,s,s2 2为不相等的负实根。为不相等的负实根。3 3 时，时，s s1 1,s,s2 2 为相等的负实根。为相等的负实根。2 2 时，时，s s1 1,s,s2 2 为共轭复数根。为共轭复数根。51.1.当两个特征根为不相等的实数根当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；时，称电路是过阻尼的；2.2.当两个特征根为相等的实数根时，当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；称电路是临界阻尼的；3.3.当两个特征根为共轭复数根时，当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。称电路是欠阻尼的。以下分别讨论这三种情况。以下分别讨论这三种情况。6一、过阻尼情况一、过阻尼情况 电路的固有频率电路的固有频率s s1 1,s,s2 2不相同的实数，不相同的实数，齐次微分方程的解为：齐次微分方程的解为：式中的常数式中的常数A A1 1，A A2 2由初始条件确定。令由初始条件确定。令上式中的上式中的t=0+=0+得得 对对uC C(t)求导，再令求导，再令t=0+=0+得得 7联立求解，可得联立求解，可得:将将A A1 1，A A2 2代入代入v vC C(t)(t)得到电容电压的零输得到电容电压的零输入响应，再利用入响应，再利用KCLKCL方程和电容的方程和电容的VCRVCR可可以得到电感电流的零输入响应。以得到电感电流的零输入响应。8当当uC C(0(0+)=)=U0 0,iL L(0(0+)=)=0 0时时t 09例例1 1 已已知知R=3=3,L=0.5H,=0.5H,C=0.25F,=0.25F,uC C(0(0+)=2V,)=2V,iL L(0(0+)=1A)=1A，求求uC C(t)和和iL L(t)的零输入响应。的零输入响应。则：则：解：由解：由R,L,CR,L,C的值，计算出固有频率的值，计算出固有频率10利用初始值利用初始值uC C(0(0+)=2V)=2V和和iL L(0(0+)=1A)=1A，得，得 ：解得解得:K:K1 1=6=6和和K K2 2=-4=-4，最后得到电容电，最后得到电容电压的零输入响应为压的零输入响应为 11它们的波形曲线如下图所示。它们的波形曲线如下图所示。过阻尼情况过阻尼情况 uC20tiL10t12从波形可看出，在从波形可看出，在t t00以后，电感电流以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大变为磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。能全部消耗完为止。13二、临界情况二、临界情况 固有频率固有频率s s1 1,s,s2 2相同的实数相同的实数s s1 1=s=s2 2=-=-。齐次解齐次解 式中常数式中常数K K1 1,K,K2 2由初始条件由初始条件iL L(0(0+)和和uC C(0(0+)确定。令确定。令t=0+=0+得到得到 对对uC C(t)求导，再令求导，再令t=0=0+,得到得到 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 14代入代入v vC C(t)(t)表达式，得到电容电压的零输表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用入响应，再利用KCLKCL方程和电容的方程和电容的VCRVCR可可以得到电感电流的零输入响应。以得到电感电流的零输入响应。当当uC C(0(0+)=)=U0 0,iL L(0(0+)=)=0 0时时15例例2 2 已已知知R=1=1,L=0.25H,=0.25H,C=1F,=1F,uC C(0(0+)=-)=-1V,1V,iL L(0(0+)=0)=0，求求电电容容电电压压和和电电感感电电流流的的零输入响应。零输入响应。解：固有频率解：固有频率利用初始利用初始值，得值，得则：则：16求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1 1=-1=-1和和K2 2=-2=-2，得到电容电压的零输入响应，得到电容电压的零输入响应.得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应 17波形曲线如图所示。波形曲线如图所示。临界阻尼情况临界阻尼情况 uC-10tiL0t18 三、欠阻尼情况三、欠阻尼情况 固有频率固有频率s s1 1,s,s2 2为两个共轭复数根，即：为两个共轭复数根，即：其中其中 三者组成一个直角三角形。三者组成一个直角三角形。19齐次微分方程的解为：齐次微分方程的解为：(用欧拉公式用欧拉公式)式中式中 由初始条件由初始条件iL L(0(0+)和和uC C(0(0+)确定常数确定常数K K1 1,K,K2 2后，得到电容电压的零输入响应，再利后，得到电容电压的零输入响应，再利用用KCL和和VCR方程得到电感电流的零输方程得到电感电流的零输入响应。入响应。20例例3 3 已知已知R=6=6,L=1H,=1H,C=0.04F,=0.04F,uC C(0(0+)=3V,)=3V,iL L(0(0+，求电容电压和电感，求电容电压和电感电流的零输入响应。电流的零输入响应。则得：则得：利用初始值利用初始值uC C(0+)=3V(0+)=3V和和iL L得得:解：固有频率：解：固有频率：21解得解得 K1 1=3=3和和K2 2=4=4，得到电容电压和电，得到电容电压和电感电流的零输入响应感电流的零输入响应 (a)(a)衰减系数衰减系数 =3 3的电容电压波形的电容电压波形 (b)(b)=3 3的电感波形的电感波形(c)(c)=的电容电压的电容电压的波形（的波形（d)d)=的电感电流的波形的电感电流的波形下图为欠阻尼情况下图为欠阻尼情况2223可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例线衰减越慢。当例3 3中电阻由中电阻由R=6=6减小减小到到R=1=1，衰减系数由，衰减系数由3 3变为时，可以看变为时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。无衰减的等幅振荡。24例例 4 4已已 知知 R =0,L=1H,=0,L=1H,C=0.04F,=0.04F,uC C(0(0+)=3V,)=3V,iL L(0(0+，求求电电容容电电压压和和电电感感电电流的零输入响应。流的零输入响应。解：固有频率解：固有频率:则：则：利用初始条件得：利用初始条件得：25解得：解得：K1 1=3=3和和K2 2，得电容电压和电感，得电容电压和电感电流的零输入响应电流的零输入响应 26 从电容电压和电感电流的表达式和波从电容电压和电感电流的表达式和波形可见，由于电路中没有损耗，能量在形可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为的相位差为9090，当电容电压为零，电，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。最大值，全部能量储存于电场中。综上所述，综上所述，RLC二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应形式与其固有频率密切相关，如下图：形式与其固有频率密切相关，如下图：27281.1.过过阻阻尼尼情情况况，s1 1和和s2 2是是不不相相等等的的负负实实数数，响应按指数规律衰减。响应按指数规律衰减。2.2.临临界界阻阻尼尼情情况况，s1 1=s2 2是是相相等等的的负负实实数数，响应按指数规律衰减。响应按指数规律衰减。3.3.欠欠阻阻尼尼情情况况，s1 1和和s2 2是是共共轭轭复复数数，响响应应是是振振幅幅随随时时间间衰衰减减的的正正弦弦振振荡荡，其其振振幅幅随随时时间间按按指指数数规规律律衰衰减减，衰衰减减系系数数 越越大大，衰衰减减越越快快。衰衰减减振振荡荡的的角角频频率率 d d 越越大大，振振荡荡周周期期越越小小，振振荡荡越越快快。图图中中 按按Ke e-t画画出出的的虚虚线线称称为为包包络络线线，它它限限定了振幅的变化范围。定了振幅的变化范围。294.4.无无阻阻尼尼情情况况，s1 1和和s2 2是是共共轭轭虚虚数数，=0=0，振振幅幅不不再再衰衰减减，形形成成角角频频率率为为 0 0的的等等幅幅振荡。振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率具有此可知，当一个电路的全部固有频率具有负实部时，电路是稳定的。负实部时，电路是稳定的。30 直流激励的直流激励的RLC串串联电路，当联电路，当uS S(t)=)=US S时，可以利用初始条时，可以利用初始条件件uC C(0(0+)=)=U0 0和和iL L(0(0+)=)=I0 0来求解以下来求解以下非齐次微分方程非齐次微分方程,从从而得到全响应而得到全响应 6 62 2 RLC串联电路在恒定激励下串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应的零状态响应和全响应 31全响应由对应齐次微分方程的通解与全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成微分方程的特解之和组成 电路的固有频率为电路的固有频率为 当当s1 1 s2 2时，对应齐次微分方程的通解为时，对应齐次微分方程的通解为 特解为特解为 32全响应为全响应为 利用初始条件，可以得到利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数联立求解，得到常数K1 1和和K2 2后，就可后，就可得到电容电压的全响应，再利用得到电容电压的全响应，再利用KCL和电容元件和电容元件VCR可以求得电感电流的可以求得电感电流的全响应。全响应。33类似地，当类似地，当s1 1=s2 2时，全响应为时，全响应为 求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似：类似地，根据元件的类似地，根据元件的VCR或或KVL计算其计算其它响应。它响应。34类似地，当特征根为共轭复根时，全响类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为应为 求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似：类似地，根据元件的类似地，根据元件的VCR或或KVL计算其计算其它响应。它响应。35例例5 5 已知已知R=6=6,L=1H,=1H,C=0.04F,=0.04F,uS S(t)=(t)=(t)V(t)V。求。求t00时电容电压的零状态响应。时电容电压的零状态响应。(单位阶跃响应单位阶跃响应)解：解：t 0 0时，时，(t)=1V)=1V，可以作为直流激，可以作为直流激励处理。固有频率励处理。固有频率 固有频率为共轭复根固有频率为共轭复根,可以得到可以得到 36利用初始值利用初始值uC C(0(0+)=0)=0和和iL L(0(0+)=0,)=0,得得:解得：解得：K1 1-1-1和和K2 2，得到电容电压，得到电容电压的零状态响应的零状态响应 波形如图波形如图(a)(b)(a)(b)：37当电阻由当电阻由R=6=6减小到减小到R=1=1，衰减系数，衰减系数由由3 3变为时，波形如图变为时，波形如图(c)(c)和和(d)(d)。386 63 3 GCL并联电路分析并联电路分析 与与RLC串联电路对偶：串联电路对偶：得二阶微分方程得二阶微分方程 39其特征方程为其特征方程为 解得特征根解得特征根 同样对偶地，特征根可能出现以下三种同样对偶地，特征根可能出现以下三种情况：情况：1 1，时，时，s1 1,s2 2为不等的实根。为不等的实根。2 2，时，时，s1 1,s2 2为相等的实根。为相等的实根。3 3，时，时，s1 1,s2 2为共轭复数根。为共轭复数根。40 当两个特征根为不相等的实数根当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。这复数根时，称电路是欠阻尼的。这三种情况响应的计算方法和公式与三种情况响应的计算方法和公式与RLC串联电路完全对偶。串联电路完全对偶。416 64 4 一般二阶电路分析一般二阶电路分析 除除了了RLC串串联联和和GCL并并联联二二阶阶电电路路以以外外，还还有有很很多多由由两两个个储储能能元元件件以以及及一一些些电电阻阻构构成成的的二二阶阶电电路路。从从本本质质上上讲讲，没没有什么区别，现举例说明。有什么区别，现举例说明。42C2 2+US S-R1 1R2 2C1 1u2 2u1 1列节点方程：列节点方程：(1)(1)(2)(2)43将式将式(2)(2)得得代入式代入式(1)(1)，得，得44整理，得整理，得同样，可解得微分方程的解。同样，可解得微分方程的解。需说明一点：可以证明，此类同种类动需说明一点：可以证明，此类同种类动态元件的二阶电路所得的微分方程的特态元件的二阶电路所得的微分方程的特征方程的根不可能为共轭复根。征方程的根不可能为共轭复根。45作业：作业：(P175)(P175)6-16-146