管理运筹学02线性规划.ppt
s1.线性规划问题及其数学模型s2.线性规划的图解法s3.线性规划问题的标准形式s4.线性规划的解集特征s5.线性规划的单纯形法s6.单纯形法的进一步讨论10/28/20221线性规划问题及其数学模型w资源合理利用问题：第5页例2-1w质量检验问题：第6页例2-2w线性规划数学模型的一般形式10/28/20222资源合理利用问题：第5页例2-1 1.决策变量：x1和x2 2.目标函数：max(2 x1+3 x2)3.约束条件：10 x1+20 x2 80 4 x1 16 6 x2 18 x1，x2 010/28/20223 质量检验问题：第6页例2-2 1.决策变量：x1和x2 2.目标函数：min(40 x1+36 x2)3.约束条件：5 x1+3 x2 45 x1 8 x2 10 x1，x2 010/28/20224线性规划数学模型的一般形式 1.决策变量是非负变量；2.目标函数是线性函数；3.约束条件是线性等式或不等式组。一般形式为：max(min)(c1 x1+c2 x2+cn xn)a11 x1+a12 x2+a1n xn (=,)b1 a21 x1+a22 x2+a2n xn (=,)b2 am1 x1+am2 x2+amn xn (=,)bm x1，x2，xn 0 10/28/20225 线性规划的图解法w1.局限性：只能求解具有两个变量的线性规划问题。w2.学习目的：图解法图解法只能求解具有两个决策变量的线性规划问题，其应用具有很大的局限性，因此学习图解法的目的并非是要掌握一种线性规划问题的求解方法，而是要通过图解法揭示线性规划问题的内在规律内在规律，为学习线性规划问题的一般算法（单纯形法单纯形法）奠定基础。w3.线性规划有关解的几个概念w4.图解法的基本步骤w5.图解法所反映出的一般结论10/28/20226线性规划有关解的几个概念 1.可行解可行解：满足约束条件的一组决策变量的取值；2.可行域可行域：可行解所构成的集合；3.最优解最优解：使目标函数达到极值的可行解；4.最优值最优值：与最优解相对应的目标函数的取值。10/28/20227图解法的基本步骤 1.画出平面直角坐标系；2.将约束条件逐一反映进平面直角坐标系，用标号和箭线表明约束条件的顺序和不等号的方向；3.找出可行域并反映出目标函数直线的斜率；4.平移目标函数直线找出最优解。5.例题：第7页例2-3：用图解法求解例2-1 6.习题：第8页例2-4：用图解法求解例2-2 10/28/20228用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 810/28/20229用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 810/28/202210用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 810/28/202211用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 810/28/202212用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 810/28/202213用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 810/28/202214用图解法求解例2-1x1x2432101 2 3 4 5 6 7 810/28/202215用图解法求解例2-2x1x2 5 10 1515105010/28/202216图解法所反应出的一般结论w1.线性规划问题的可行域是凸多边形凸多边形凸多边形凸多边形；w2.如果线性规划问题有最优解，其最优解一定可以在其可行域的顶点上得到，而不会在可行域的内部；w3.如果线性规划问题在其可行域的两个顶点上得到最优解，那么两顶点连线上的所有点均为最优解点；w4.线性规划问题的解可能有四种情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解和无可行解。10/28/202217线形规划问题的标准形式w1.标准形式的基本条件：（1）决策变量非负；（2）目标函数极大化（或极小化）；（3）约束条件为严格等式，且右端项非负。w2.标准形式的表示：代数式；和式；向量式；矩阵式 w3.标准形式的转化10/28/202218线性规划的标准型：代数式 min z=c1x1+c2x2+cnxn a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm xj 0 j=1,2,n 10/28/202219线性规划的标准型：和式 min z=cjxj aijxj=bi i=1,2,m xj 0 j=1,2,nj=1nnj=110/28/202220线性规划的标准型：向量式 min z=CX pjxj=bi i=1,2,m xj 0 j=1,2,n C=(c1,c2,c3,cn)X=(X1,X2,X3,Xn)Tnj=110/28/202221线性规划的标准型：矩阵式 min z=CX AX=b，X 0，b 0 其中：b=(b1,b2,bm)T a11 a12.a1n A=a21 a22 a2n am1 am2 amn10/28/202222标准形式的转化w1.无约束变量x的处理：x=y-z,其中y,z0w2.负数变量x的处理：x=-y,其中y0w3.目标函数极小化的处理：Min CX=-Max(-CX)w4.非等式约束条件的处理：加松弛变量或减剩余变量w5.右端项为负：两端同乘“-1”10/28/202223线形规划的解集特征w1.线性规划基与解的概念 (1)基、基列、基变量和非基变量 (2)基解、基可行解和可行基w2.凸集的概念与解集的基本定理 (1)凸集的概念 (2)解集的基本定理10/28/202224线性规划基与解的概念w1.基、基列、基变量和非基变量 (1)基基：Max CX,AX=b,X0,b0 Amn其秩为m，B 是 Amn中的一个mm阶满秩矩阵，则称B是线 性规划问题的一个基基 (2)基列基列：基 B 中所包含的m个列向量 (3)基变量基变量：基列所对应的决策变量 (4)非基变量非基变量：基变量以外的决策变量w2.基解、基可行解、可行基 (1)基解基解：令所有的非基变量为零，所求得的一组解 (2)基可行解基可行解：所有分量均为非负的基解基解 (3)可行基可行基：与基可行解基可行解所对应的基基10/28/202225凸集的概念与解集的基本定理w1.凸集的概念：设 K 是 n 维欧氏空间的一点集，若任意两点 X(1)k，X(2)k 的连线上的一切点 X(1)+(1-)X(2)k，(0 1)则称 k 为凸集。w2.解集的基本定理：(1)若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集；(2)线性规划问题的基可行解对应其可行域的顶点；(3)若线性规划问题存在最优解，则其最优解一定能在基可行解中找到。10/28/202226线性规划的单纯形法w1.单纯形法的基本原理 (1)单纯形法的基本思路 (2)第12页例2-6w2.最优性检验与解的判别w3.单纯形表w4.单纯形法的基本步骤w5.用单纯形法求解例2-6w6.课上习题10/28/202227单纯形法的基本思路w1.找出一个初始的基可行解；w2.判断其最优性；w3.转移至另一个较优的基可行解；w4.重复2、3两步直至最优。10/28/202228第12页例2-6Max z=2x1+3x2 10 x1+20 x2 +x3 =80 4x1 +x4 =16 6x2 +x5 =18 x1，x2，x3，x4，x5 0B=(p3，p4，p5)X(0)=(0，0，80，16，18)T Z(0)=0，z=2x1+3x2寻找相邻的基可行解10/28/202229例2-6Max(2，3)=3 x2入基Min(80/20，18/6)=3 x5出基B=(p3，p4，p2)10 x1 +x3 -10/3 x5=20 4x1 +x4 =16 x2 +1/6 x5 =3X(1)=(0，3，20，16，0)T Z(1)=9，z=9+2x1-1/2 x510/28/202230例2-6Max(2)=2 x1入基Min(20/10，16/4)=2 x3出基B=(p1，p4，p2)x1+1/10 x3 -1/3 x5=2 -2/5 x3+x4+4/3 x5=8 x2 +1/6 x5=3X(2)=(2，3，0，8，0)T Z(2)=13，z=13-1/5 x3+1/6 x510/28/202231例2-6Max(1/6)=1/6 x5入基Min(8/(4/3)，3/(1/6)=6 x4出基B=(p1，p5，p2)x1 +1/4 x 4 =4 -3/10 x3+3/4 x4+x5=6 x2+1/20 x3 -1/8 x4 =2X(3)=(4，2，0，0，6)T Z(3)=14，z=14-9/10 x3-1/8 x410/28/202232最优性检验与解的判别10/28/202233单纯形表10/28/202234单纯形法的基本步骤w1.数学模型标准化、正规化；w2.建立初始单纯形表；w3.计算检验数并判断最优性，结束或继续；w4.确定入基变量和出基变量，w5.迭代运算；w6.重复3、4、5步，直至结束。10/28/202235用单纯形法求解例2-610/28/202236用单纯形法求解例2-610/28/202237用单纯形法求解例2-610/28/202238用单纯形法求解例2-610/28/202239课上习题1.Max z=2x1+4x2+x3+x4 x1+3x2 +x4 8 2x1+x2 6 x2+x3+x4 6 x1+x2+x3 9 x14 02.第17页例2-103.第19页例2-1110/28/202240单纯形法的进一步讨论1.计算问题 (1)入基变量的选择 (2)解的退化2.人工变量与初始正规基 (1)大M法 (2)两阶段法10/28/202241入基变量的选择 入基变量是根据最大正检验数最大正检验数来选择的，这样做的目的是为了使目标函数得到最大的增量，因此当最大正检验数有多个时，可主观地选择它们中的任意一个作为入基变量。其实具有正检验数的所有非基变量都可作为入基变量。10/28/202242出基变量的选择与解的退化w1.退化解：部分基变量的值为零的基可行解称为退化解。w2.在选择出基变量时，如果最小比值不唯一，可主观确定出基变量，此时产生退化解。w3.例10/28/202243例Max z=2x4+(3/2)x6 x1 +x4 -x5 =8 x2 +2 x4 +x6=4 x3+x4 +x5+x6=3 x16 010/28/202244例10/28/202245例10/28/202246例10/28/202247例10/28/202248例10/28/202249人工变量与初始正规基第第21页例页例2-13:Min z=-3x1+x2+x3 x1 -2x2+x3 11 -4x1 +x2+2x3 3 2x1 -x3 =-1 x1 ，x2，x3 0(1)标准化10/28/202250例2-13的标准化 Min z=-3x1+x2+x3 x1 -2x2+x3+x4 =11 -4x1 +x2+2x3 -x5=3 -2x1 +x3 =1 x15 0(2)正规化10/28/202251例2-13的正规化人工变量人工变量：为构造基变量（正规基）人为加入的变量 x1 -2x2+x3+x4 =11 -4x1 +x2+2x3-x5+x6 =3 -2x1 +x3 +x7=1 x17 0初始正规基 B=(p4,p6,p7)=E10/28/202252大M法1.大M法：令人工变量的价值系数为“-M”(极大值)或“M”(极小值)的单纯形法即称为大M法；例如：Min z=-3x1+x2+x3+M x人人1+M x人人2 Max z=2x1+x2+4x3-M x人人1+M x人人22.例2-13的大M法3.习题（大M法）10/28/202253用大M法求解例2-13 Min z=-3x1+x2+x3 x1 -2x2+x3 11 -4x1 +x2+2x3 3 2x1 -x3 =-1 x1 ，x2，x3 010/28/202254用大M法求解例 Min z=-3x1+x2+x3+Mx6+Mx7 x1 -2x2+x3+x4 =11 -4x1 +x2 +2x3 -x5+x6 =3 -2x1 +x3 +x7=1 x17 010/28/202255用大M法求解例10/28/202256用大M法求解例10/28/202257用大M法求解例10/28/202258用大M法求解例10/28/202259习题（用大M法求解）Max z=2x1+4x2+x3 x1 +x2 +x3 6 x1 +x2 -2x3 4 x1 -2x2+x3 8 x1 ，x2，x3 010/28/202260习题（用大M法求解）Max z=2x1+4x2+x3-Mx7 x1 +x2 +x3+x4 =6 x1 +x2 -2x3 +x 5 =4 x1 -2x2+x3 -x6+x7 =8 x17 010/28/202261习题（用大M法求解）10/28/202262习题（用大M法求解）10/28/202263习题（用大M法求解）10/28/202264两阶段法w1.两阶段法：第一阶段，在原约束条件下，求所有人工变量和的最小值；第一阶段的目的是获得问题的一个初始基可行解（人工变量和的最小值为零）或得出问题无可行解（人工变量和的最小值大于零）的结论；第二阶段，去掉人工变量，在原目标下从已得到的基可行解开始优化。w2.例2-13的两阶段法w3.习题（两阶段法）10/28/202265用两阶段法求解例2-13 Min z=-3x1+x2+x3 x1 -2x2+x3 11 -4x1 +x2+2x3 3 2x1 -x3 =-1 x1 ，x2，x3 010/28/202266用两阶段法求解例2-13第一阶段：Min z=x6+x7 x1 -2x2+x3+x4 =11 -4x1 +x2 +2x3 -x5+x6 =3 -2x1 +x3 +x7=1 x17 010/28/202267用两阶段法求解例2-1310/28/202268用两阶段法求解例2-1310/28/202269用两阶段法求解例2-1310/28/202270用两阶段法求解例2-1310/28/202271用两阶段法求解例2-1310/28/202272习题（用两阶段法求解）Max z=2x1+4x2+x3 x1 +x2 +x3 6 x1 +x2 -2x3 4 x1 -2x2+x3 8 x1 ，x2，x3 010/28/202273习题（用两阶段法求解）第一阶段：Min z=x7 x1 +x2 +x3+x4 =6 x1 +x2 -2x3 +x 5 =4 x1 -2x2+x3 -x6+x7 =8 x17 010/28/202274习题（用两阶段法求解）10/28/202275习题（用两阶段法求解）10/28/202276习题（用两阶段法求解）10/28/202277
