Green公式及其应用.ppt

单连通区域单连通区域1.1.单单(复复)连通区域及其正向边界连通区域及其正向边界复连通区域复连通区域单连通区域就是单连通区域就是没有没有“洞洞”的区域的区域.Green 公式公式及其应用及其应用 作作 业业P1753(1,5);4(2);7(1,3);8;9(1)2.2.Green 公式公式 Green 公式公式是英国数学家、物理学家格林是英国数学家、物理学家格林George Green(1793-1841)在在18251825年发现的年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推广是微积分基本公式在二重积分情形下的推广.证证:仅证与仅证与 P 有关的项之间的关系。有关的项之间的关系。1.1.揭示了揭示了平面区域上的二重积分平面区域上的二重积分与与沿区域的封闭沿区域的封闭 边界的第二型线积分边界的第二型线积分之间的关系之间的关系.2.2.给出了计算二重积分的新方法给出了计算二重积分的新方法.3.3.给出了计算第二型线积分的新方法给出了计算第二型线积分的新方法.4.4.给出了计算平面区域面积的新方法给出了计算平面区域面积的新方法.例例 1解：解：(1)(1)简化第二型线积分简化第二型线积分Green公式公式的简单应用的简单应用由于由于L不是封闭曲线，所以不能直接使用不是封闭曲线，所以不能直接使用Green公式公式！(2)(2)简化二重积分简化二重积分例例2解：解：(3)(3)计算平面区域的面积计算平面区域的面积例例4 4解：解：例例5 5解：解：(4)(4)计算曲线方程未知的曲线积分计算曲线方程未知的曲线积分例例6 6解：解：例例7 7解：解：取足够小椭圆使得l 位于L内部。l 取顺时钟方向。由由GreenGreen 定理可知定理可知，（曲线积分点在曲线上）（曲线积分点在曲线上）平面线积分与路径无关是指：对任意两条以A为起点,B为终点的曲线 L1,L2 均有:平面线积分与路径无关的条件平面线积分与路径无关的条件 设则以下四个命题等价:定理2C C 为为D D 内任一简单闭曲线。内任一简单闭曲线。在在D D 内恒成立。内恒成立。在在 D D 内与积分路径无关。内与积分路径无关。-u:势函数或位函数(Potential function)即即 Pdx+Qdy Pdx+Qdy 为某个二元函数为某个二元函数 u u 的全微分。的全微分。例8解:yxoL2A所以曲线积分在全平面内与路径无关。所以曲线积分在全平面内与路径无关。解:所以所以只要路径不通过原点只要路径不通过原点，积分与路径无关。，积分与路径无关。yxoLABL1yxoLABoyx(x0,y0)(x,y)函数函数 u 也称为也称为 Pdx+Qdy 的的原函数原函数求求原函数原函数的方法的方法:(1)线积分方法线积分方法；(2)偏积分方法偏积分方法(书书P157)；P简单则固定简单则固定x=x0，Q简单则固定简单则固定y=y0(3)凑全微分方法凑全微分方法；全微分方程全微分方程全微分方程的全微分方程的通解通解为为：U(x,y)=C.(C为任意常数)为全微分方程若存在二元函数 U(x,y),使为全微分方程故方程为全微分方程。方程通解为解例10例 11 已知曲线积分即解：由曲线积分与路径无关的等价条件可得：与路径无关，且