高阶微分方程方程组.ppt
高阶微分方程与方程组教学要求（基本理论与方法）一阶线性方程组的基本理论与解的性质 线性方程组的向量表示和存在唯一性 齐次与非齐次 线性方程组解的性质和结构 基解矩阵及常数变易公式 常系数线性方程组微分方程的求解 exp(At)的定义与性质 exp(At)的三种计算方法和两种特例 常系数非齐次线性方程组的求解 齐次齐次/非齐次非齐次 线性方程组线性方程组解的性质和通解结构解的性质和通解结构 解的性质（叠加原理）；解的性质（叠加原理）；解的线性相关解的线性相关/无关性及判别无关性及判别 （WronskyWronsky行列式行列式）齐次与非齐次齐次与非齐次 通解结构（基本解组）通解结构（基本解组）基解矩阵及其性质、常数变易公式基解矩阵及其性质、常数变易公式基本概念：基本概念：线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、初值问题、二者关系、存在唯一性初值问题、二者关系、存在唯一性 向量表示：向量表示：向量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序向量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序列与级数列与级数 高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）矩阵指数与基解矩阵矩阵指数与基解矩阵 矩阵指数矩阵指数exp A 的定义与性质的定义与性质 基解矩阵表示基解矩阵表示基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法 基解矩阵与特征值（向量）关系基解矩阵与特征值（向量）关系 特征值（向量）方法特征值（向量）方法 若当块方法若当块方法 递推公式方法递推公式方法 高阶(线性)微分方程的求解 常系数齐次线性方程（欧拉方程）的特征根法 常系数非齐次线性方程的比较系数法 一般非齐次线性方程的常数变易法 一般高阶（线性）方程的降解法*(了解)二阶方程的幂级数法（Bessel方程）常系数齐次线性微分方程的通解常系数齐次线性微分方程的通解-特征根法特征根法基本解组复解实值转化复解实值转化欧拉方程的基本解组欧拉方程的基本解组-变换变换特征方程特征方程基本解组基本解组非齐次常系数线性方程的特解非齐次常系数线性方程的特解-比较系数法比较系数法类型类型类型类型II特解特解特解特解待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端求出系数，从而得到特解（待定系数法！）求出系数，从而得到特解（待定系数法！）n-k阶方程n-1阶方程n-1阶方程并反复k次，得n-k阶方程方程变换结果一般高阶方程-降阶法二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解）为齐次方程的基本解组，则通解：为齐次方程的基本解组，则通解：求一般非齐次线性方程的特解求一般非齐次线性方程的特解-常数变易法常数变易法假设非齐次的某特解：假设非齐次的某特解：幂级数解法幂级数解法 BsselBssel 方程的通解公式和方程的通解公式和BesselBessel函数函数二阶线性方程二阶线性方程-幂级数解法幂级数解法*齐次：基本解组非齐次：特解常系数齐次：特征根法常系数非齐次：比较系数法、常数变易法、降阶法 幂级数法*、分解法变系数方程（非齐次）：降阶法、幂级数法*1 计算特征值，计算特征值，n个无关的特征向量；个无关的特征向量；（I）n个线性无关特征向量情形个线性无关特征向量情形2 求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；（2）求解子空间Uj并分解：（1）求A的特征值、特征向量（3）仅一个特征值利用 公式(5.53);（4）（II）基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法-递推法递推法递推法递推法利用递推法计算基解矩阵利用递推法计算基解矩阵结论结论其中其中是下列初值问题的解是下列初值问题的解(III)(III)基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法-递推法递推法递推法递推法练习 稳定性问题稳定性问题 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。究几个与稳定性有关的问题。一般的微分方程或微分方程组可以写成：一般的微分方程或微分方程组可以写成：定义定义 称微分方程或微分方程组称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。为自治系统或动力系统。（3.28）若方程或方程组若方程或方程组f f(x x)=0)=0有解有解X Xo o，X=XX=Xo o显然满足（）。显然满足（）。称点称点X Xo o为为微分方程或微分方程组（微分方程或微分方程组（3.28)3.28)的平衡点或奇点。的平衡点或奇点。例例7 7 本章第本章第2 2节中的节中的LogisticLogistic模型模型 共有两个平衡点：共有两个平衡点：N=0和和N=K，分别对应微分方程的两，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为时的解而后者为No=K时的解。时的解。当当NoK时，时，则位于则位于N=K的上方。从图的上方。从图3-17中不难看出，若中不难看出，若No0，积分曲线，积分曲线在在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点。这说明，平衡点N=0和和N=K有着极大的区别。有着极大的区别。图3-17 定义定义1 1 自治系统自治系统 的相空间是指以（的相空间是指以（x1,xn）为坐标）为坐标 的空间的空间Rn。特别，当特别，当n=2时，称相空间为相平面。时，称相空间为相平面。空间空间Rn的点集的点集(x1,xn)|xi=xi(t)满足满足(3.28)，i=1,n称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。称为相图。定义定义2 2 设设x x0 0是（）的平衡点，称：是（）的平衡点，称：（1 1）x x0 0是稳定的，如果对于任意的是稳定的，如果对于任意的00，存在一个，存在一个00，只要只要|x x(0)-(0)-x x0 0|，就有，就有|x x(t t)-)-x x0 0|对所有的对所有的t t都成立。都成立。（2 2）x x0 0是渐近稳定的，如果它是稳定的且是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。（3 3）x x0 0是不稳定的，如果（是不稳定的，如果（1 1）不成立。）不成立。根据这一定义，根据这一定义，LogisticLogistic方方程的平衡点程的平衡点N=KN=K是稳定的且是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点为渐近稳定的，而平衡点N=0N=0则是不稳定的。则是不稳定的。解析方法解析方法定理定理1 1 设设x xo o是微分方程是微分方程 的平衡点：的平衡点：若若 ,则则x xo o是渐近稳定的是渐近稳定的若若 ,则则x xo o是渐近不稳定的是渐近不稳定的证证 由泰勒公式，当由泰勒公式，当x x与与x xo o充分接近时，有：充分接近时，有：由于由于x xo o是平衡点，故是平衡点，故f f(x xo o)=0)=0。若。若 ，则当，则当x x 0)0，从而，从而x x单增；当单增；当x x x xo o时，又有时，又有f f(x x)0)00，可能出现以下情形：，可能出现以下情形：若若q0，120。当当p0时，时，零点不稳定；零点不稳定；当当p p00时，零点稳定时，零点稳定 若若q q00，1 12 200时，零点不时，零点不 稳定稳定 当当p0时，零点稳定时，零点稳定（2）0，零点稳定，零点稳定若若a=0，有零点为中心的周期解，有零点为中心的周期解 综上所述：仅当综上所述：仅当p0时，时，（）零点才是渐近稳定的；（）零点才是渐近稳定的；当当p=0且且q0时（）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）时（）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。；在其他情况下，零点均为不稳定的。非线性方程组（）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理非线性方程组（）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立成立:定理定理2 若（）的零点是渐近稳定的，则（）的平衡点若（）的零点是渐近稳定的，则（）的平衡点 也是渐近稳定的；若（）的零点是不稳定的，则（）也是渐近稳定的；若（）的零点是不稳定的，则（）的平衡点也是不稳定的。的平衡点也是不稳定的。
