《初等解析函数》PPT课件.ppt
12-3 初等解析函数一、指数函数一、指数函数二、对数函数二、对数函数三、幂函数三、幂函数四、根式函数四、根式函数五、三角函数和双曲函数五、三角函数和双曲函数六六*、反三角函数和反双曲函数、反三角函数和反双曲函数21.1.指数函数指数函数定义定义显然显然为简便，常用下面记号为简便，常用下面记号与指数函数符号一致与指数函数符号一致与与Euler公式相一致公式相一致但也有不妥之处但也有不妥之处3定理定理 指数函数具有如下性质：指数函数具有如下性质：4例例 1 解解5例例 2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:6例例 3 解解从而，有从而，有7因为多值函数的多值性是由辐角函数的多值性引起来的，因为多值函数的多值性是由辐角函数的多值性引起来的，我们先研究辐角函数：我们先研究辐角函数：辐角函数辐角函数ArgzArgz:先来看一下使辐角函数为多值的原因。先来看一下使辐角函数为多值的原因。对于确定的对于确定的 ，若设，若设 ，则，则 可取这些值可取这些值:，而能取，而能取 以外的那些以外的那些值即值即 的的原因是原因是:在复平面上存在一条从在复平面上存在一条从 出发绕原点连续变动一周后又能回到出发绕原点连续变动一周后又能回到 的简单闭的简单闭曲线曲线 因此，为使取不到因此，为使取不到 这些值这些值,只须将复平面从原点起只须将复平面从原点起沿正实轴剪开即可沿正实轴剪开即可 8定义定义 设函数设函数f(z)为多值函数为多值函数,若当变点若当变点 z从起始点从起始点 出发绕出发绕一条包围点一条包围点a a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点点 时时,函数从一个枝变到另一个枝函数从一个枝变到另一个枝,则称则称a a为函数为函数 的的枝点枝点显然显然,当变点当变点z z 从起始点从起始点1 1 出绕一条包围出绕一条包围原点原点 的简单闭的简单闭曲线按逆时针方向连续变动一周再回到起始点曲线按逆时针方向连续变动一周再回到起始点1 1时，时，ArgzArgz从从 （k确定为一整数）确定为一整数）,变到变到 ,依定义可依定义可知，知，原点原点为函数为函数ArgzArgz的一个的一个枝点。枝点。92.2.对数函数对数函数这样这样或或因此因此定义定义1011例例 4 解解注注:在实函数中在实函数中,负数无对数负数无对数,而复变数对数函而复变数对数函数是实对数函数的拓广数是实对数函数的拓广.12例例 5解解13解解15对数函数的性质对数函数的性质对于某一固定分支对于某一固定分支,有有163.3.幂函数幂函数注注:定义定义17例例7 7解解例例8 8解解18注：注：解解问题在什么地方？问题在什么地方？表达式表达式？19 幂函数的解析性幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析内解析,204.4.根式函数根式函数定义定义 设设 ，称满足，称满足 （n n为不小于为不小于2 2的正整数的正整数)的的 为为z z的的n n次根式函数，次根式函数，或简称或简称根式函数根式函数，记作，记作 根式函数为根式函数为多值函数多值函数,它它不是解析函数不是解析函数.对于每一个确定的对于每一个确定的 都有都有n n个不同的个不同的 与之对应，即与之对应，即有有 k=0,1,n-1k=0,1,n-1 根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n n个个单值函数单值函数 21 称用来剪开复平面，从而使多值函数能分称用来剪开复平面，从而使多值函数能分出出单值枝单值枝的割线（或割痕）为该多值函数的的割线（或割痕）为该多值函数的枝枝割线割线由此可知由此可知,复平面上从原点起始的正实复平面上从原点起始的正实轴便是函数轴便是函数Argz,LnzArgz,Lnz的的枝割线枝割线.同时同时,由枝割线所起的作用可知由枝割线所起的作用可知,在扩充复在扩充复平面上平面上,任意一条从原点起始伸向无穷远点的任意一条从原点起始伸向无穷远点的射线都是它们的枝割线射线都是它们的枝割线22 由此可见由此可见:一般而言，其支割线一般而言，其支割线不是唯一的不是唯一的，而且支割线的形状可以是多种多样的而且支割线的形状可以是多种多样的 为确定起见，为确定起见，我们一般只选从原点起始的正我们一般只选从原点起始的正实轴或者负实轴为函数的实轴或者负实轴为函数的枝割线枝割线.根式函数根式函数的每个单值分枝在从原点起始沿的每个单值分枝在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为正实轴剪开的复平面上为解析函数解析函数.235.5.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数将两式相加与相减将两式相加与相减,得得下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.242526为周期的周期函数为周期的周期函数.27 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数数.双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内也都是解析函数也都是解析函数28一些常用的重要公式：一些常用的重要公式：29但与实函数完全不同的是：但与实函数完全不同的是：sin z,cos z 无界无界336 6 *.反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数两端取对数得两端取对数得定义：定义：34反正弦函数反正弦函数反正切函数反正切函数35解解例例9.9.36本章主要内容本章主要内容复复变变函函数数连续连续初等解析函数初等解析函数判判别别方方法法可导可导解析解析指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数双曲函数双曲函数幂幂 函函 数数反三角函数反三角函数37本章要注意的几点：本章要注意的几点：导数的概念导数的概念解析的充要条件解析的充要条件基本初等函数的运用基本初等函数的运用38计算初等函数值计算初等函数值39第第二章作业：二章作业：P662.（2）（3）3.（2）（3）4.（1）5.6.15和和18任选一题任选一题.
