连续控制系统的数学模型.ppt

主讲人：肖纯主讲人：肖纯第第2 2章章 连续系统的数学模型连续系统的数学模型 2.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述2.4 2.4 结构图结构图 2.5 2.5 信号流图信号流图 2.6 2.6 系统数学模型的系统数学模型的MATLABMATLAB表示表示 1主讲人：肖纯主讲人：肖纯第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.4 2.4 结构图结构图 2.5 2.5 信号流图信号流图 2.6 2.6 系统数学模型的系统数学模型的MATLABMATLAB表示表示 2主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 自动控制理论方法自动控制理论方法是先将系统抽象成数学模型，是先将系统抽象成数学模型，然后用数学的方法处理。然后用数学的方法处理。数学模型数学模型：是根据：是根据系统运动过程的物理、化学等系统运动过程的物理、化学等规律规律，所写出的描述系统，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与运动规律、特性和输出与输入关系输入关系的数学表达式。的数学表达式。3主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！4主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.1.1 2.1.1 数学模型的定义与主要类型数学模型的定义与主要类型 静态模型与动态模型静态模型与动态模型 (静态模型是t时系统的动态模型)输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型 连续时间模型与离散时间模型连续时间模型与离散时间模型 参数模型与非参数模型参数模型与非参数模型105主讲人：肖纯主讲人：肖纯 描描述述系系统统静静态态（工工作作状状态态不不变变或或慢慢变变过过程程）特特性性的的模模型型，称称为为静静态态数数学学模模型型。静静态态数数学学模模型型一一般般是是以以代代数数方方程程表表示示的的，数数学学表表达达式式中中的的变变量量不不依依赖赖于于时时间间，是是输输入入输输出出之之间间的稳态关系的稳态关系。描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。（1）静态模型与动态模型）静态模型与动态模型2.1.1 2.1.1 数学模型的定义与主要类型数学模型的定义与主要类型6主讲人：肖纯主讲人：肖纯（2 2）输入输出描述模型与内部描述模型）输入输出描述模型与内部描述模型描述系统描述系统输出与输入输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系关系，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。2.1.1 2.1.1 数学模型的定义与主要类型数学模型的定义与主要类型7主讲人：肖纯主讲人：肖纯 （3 3）连续时间模型与离散时间模型）连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为学模型分为连续时间模型连续时间模型和和离散时间模型离散时间模型，简称连续模型和，简称连续模型和离散模型。离散模型。连续数学模型有连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式微分方程、传递函数、状态空间表达式等。等。离散数学模型有离散数学模型有差分方程、差分方程、Z Z传递函数、离散状态空间表达传递函数、离散状态空间表达式式等。等。2.1.1 2.1.1 数学模型的定义与主要类型数学模型的定义与主要类型8主讲人：肖纯主讲人：肖纯（4 4）参数模型与非参数模型）参数模型与非参数模型从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。类。参数模型参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。分方程、状态方程等。非参数模型非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。曲线等。2.1.1 2.1.1 数学模型的定义与主要类型数学模型的定义与主要类型9主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.1.2 2.1.2 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 机理分析建模方法机理分析建模方法，称为，称为分析法分析法；对系统各部分的运动对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。（白箱）别列写运动方程。（白箱）KCL KVL 牛顿定律牛顿定律 热力学定律等。热力学定律等。实验建模方法实验建模方法，通常称为，通常称为系统辨识系统辨识。人为施加某种测试信人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，并用适当的数学模型去逼近。号，记录基本输出响应，并用适当的数学模型去逼近。（黑箱）（黑箱）建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法，或者说有两种不同的途径。法，或者说有两种不同的途径。10主讲人：肖纯主讲人：肖纯分析法建立系统数学模型的几个步骤：分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）律等）选定系统的选定系统的输入量、输出量及状态变量输入量、输出量及状态变量（仅在（仅在建立状态模型时要求），建立状态模型时要求），消去中间变量消去中间变量，建立，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。适当的输入输出模型或状态空间模型。2.1.2 2.1.2 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 11主讲人：肖纯主讲人：肖纯实验法基于系统辨识的建模方法实验法基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的已知知识和辨识目的实验设计实验设计-选择实验条件选择实验条件模型阶次模型阶次-适合于应用的适当的阶次适合于应用的适当的阶次参数估计参数估计-最小二乘法、最大似然估计、相关分析、时域、最小二乘法、最大似然估计、相关分析、时域、频域频域模型验证模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近型需保证两个输出之间在选定意义上的接近2.1.2 2.1.2 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 12主讲人：肖纯主讲人：肖纯最有效的建模方法是将最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨机理分析建模方法与系统辨识方法识方法结合起来。结合起来。实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识，实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识，由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出模型参数，这种方法常称为模型参数，这种方法常称为“灰箱灰箱”建模方法，实建模方法，实践证明这种建模方法是非常有效的。践证明这种建模方法是非常有效的。2.1.2 2.1.2 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 13主讲人：肖纯主讲人：肖纯第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.1 2.1 控制系统数学模型的概念控制系统数学模型的概念 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.4 2.4 结构图结构图 2.5 2.5 信号流图信号流图 2.6 2.6 系统数学模型的系统数学模型的MATLABMATLAB表示表示 14主讲人：肖纯主讲人：肖纯第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 描述系统描述系统输出变量和输入变量输出变量和输入变量之间动态关系的之间动态关系的微分方程称为微分方程称为微分方程微分方程模型模型 15主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述系统微分方程的形式与系统分类之间的关系系统微分方程的形式与系统分类之间的关系:（1 1）非线性微分方程描述的是）非线性微分方程描述的是非线性系统非线性系统；（2 2）线性微分方程描述的是线性系统线性微分方程描述的是线性系统;（3 3）时变系统的微分方程的系数与时间有关；）时变系统的微分方程的系数与时间有关；（4 4）时不变时不变(定常定常)系统的微分方程的系数与时间无关系统的微分方程的系数与时间无关。系统u(t)y(t)16主讲人：肖纯主讲人：肖纯 根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为（1 1）确定确定系统的输入、输出变量；系统的输入、输出变量；（2 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，所遵循的物理、化学等定律，列写列写各变量之间的动态方程，各变量之间的动态方程，一般为微分方程组；一般为微分方程组；（3 3）消去中间变量消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程；，得到输入、输出变量的微分方程；（4 4）标准化标准化：将与输入有关的各项放在等号：将与输入有关的各项放在等号右边右边，与输出，与输出有关的各项放在等号有关的各项放在等号左边左边，并且分别按，并且分别按降幂排列降幂排列，最后将系，最后将系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。注注意意：由由于于实实际际系系统统的的结结构构一一般般比比较较复复杂杂，甚甚至至不不清清楚楚内内部部机理，所以，列写实际工程系统的微分方程是很困难的。机理，所以，列写实际工程系统的微分方程是很困难的。2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述17 列列写写如如图图所所示示RCRC网网络络的的微微分分方方程程。给给定定输输入入电电压压 为为系系统统的的输输入量，电容上的电压入量，电容上的电压 为系统的输出量。为系统的输出量。解解 设设回回路路电电流流为为i，由由电电路路理理论论可知，电阻上的电压为：可知，电阻上的电压为：由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式电容上的电压与电流的关系为：电容上的电压与电流的关系为：消去中间变量消去中间变量u1、i得得令令 为电路时间常数，则为电路时间常数，则 为为RCRC网络的网络的微分方程，微分方程，它是一阶常它是一阶常系数线性微系数线性微分方程。分方程。例例2.1 2.1 一阶一阶RCRC网络系统网络系统18例例2.2 2.2 二阶二阶RCRC网络系统网络系统给定输给定输入电压入电压 为系统的输入量，电容为系统的输入量，电容C2上的电压上的电压 为系统的输出量。为系统的输出量。i1i219思考：思考：能否可以将二阶能否可以将二阶RCRC网络看成是两个一阶网络看成是两个一阶RCRC网络的串联？分别建网络的串联？分别建立一阶立一阶RCRC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到二阶二阶RCRC网络的输入输出之间的微分方程关系？网络的输入输出之间的微分方程关系？串联串联？T12=020串联串联i2i121串联串联？T12=0 二阶二阶RCRC网络虽然是两个一阶网络虽然是两个一阶RCRC网络的网络的串联，但应该注意到前面一个串联，但应该注意到前面一个RCRC网网络不是开路，后面一个络不是开路，后面一个RCRC网络是前网络是前面一个面一个RCRC网络的负载，网络的负载，T12系数项就系数项就反映了这一负载效应。反映了这一负载效应。22主讲人：肖纯主讲人：肖纯23C-+一阶有源网络系统一阶有源网络系统二阶有源网络系统二阶有源网络系统思考：思考：能否可以将下列有源二阶能否可以将下列有源二阶RCRC网络看成是两个有源一网络看成是两个有源一阶阶RCRC网络的串联？为什么？网络的串联？为什么？24主讲人：肖纯主讲人：肖纯 图图2-3 2-3 所示为电枢控制直流电所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢动机的微分方程，要求取电枢电压电压Ua(t)(v)(v)为输入量，电动机为输入量，电动机转速转速m(t)(rad/s)为输出量，列为输出量，列写微分方程。图中写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和分别是电枢电路的电阻和电感，电感，Mc(NM)是折合到电动机是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。为常值。例例2-32-32.2 2.2 微分方程描述微分方程描述25主讲人：肖纯主讲人：肖纯解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压U Ua a(t)(t)在电枢回路中产生电枢电流在电枢回路中产生电枢电流i ia a(t)(t)，再由电流，再由电流i ia a(t)(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转矩与激磁磁通相互作用产生电磁转矩M Mm m(t)(t)，从而拖，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电磁转矩方程电动机轴上的转矩平衡方程电动机轴上的转矩平衡方程 2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述26主讲人：肖纯主讲人：肖纯Ea 是是电枢反电势电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反相反，即，即 Ea=Cem(t)Ce反电势系数反电势系数(v/rad/s)电枢回路电压平衡方程：电枢回路电压平衡方程：2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述27主讲人：肖纯主讲人：肖纯：电动机转电动机转矩矩系数系数 （NNm m/A/A）：由电枢电流产生的电磁转由电枢电流产生的电磁转矩矩（NmNm）电动机轴上的转矩平衡方程：电动机轴上的转矩平衡方程：fm：电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）Jm：转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）kgm电磁转矩方程：电磁转矩方程：Mc(NM)Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转矩。是折合到电动机轴上的总负载转矩。是折合到电动机轴上的总负载转矩。是折合到电动机轴上的总负载转矩。2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述28主讲人：肖纯主讲人：肖纯 电动机机电时间常数（电动机机电时间常数（s s）在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而较小，通常忽略不计，因而可简化为可简化为、求出求出ia(t)ia(t)，代入代入同时同时亦代入亦代入得：得：电动机传递系数电动机传递系数2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述29主讲人：肖纯主讲人：肖纯如果电枢电阻如果电枢电阻RaRa和电动机的转动惯量和电动机的转动惯量J Jm m都很小而忽都很小而忽略不计时略不计时 还可进一步简化为还可进一步简化为电动机的转速电动机的转速 与电枢电压与电枢电压 成正比，成正比，于是于是 电动机可作为电动机可作为测速发电机使用测速发电机使用。2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述30主讲人：肖纯主讲人：肖纯由牛顿定律：由牛顿定律：例例2-42-4右图是弹簧质量阻尼器机械位移右图是弹簧质量阻尼器机械位移系统。试写质量在外力系统。试写质量在外力F F作用下，位移的作用下，位移的运动方程（运动方程（F F，都是时间的函数）。，都是时间的函数）。图图2-4 2-4 弹簧质量弹簧质量阻尼器机械位移阻尼器机械位移系统系统2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述31主讲人：肖纯主讲人：肖纯第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.1 2.1 控制系统数学模型的概念控制系统数学模型的概念 2.3 2.3 传递函数传递函数2.2 2.2 微分方程描述微分方程描述 2.4 2.4 传递函数模型传递函数模型 2.5 2.5 结构框图模型结构框图模型 2.6 2.6 频率特性模型频率特性模型 32主讲人：肖纯主讲人：肖纯 数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义拉氏变换定义 设函数设函数f(t)f(t)满足满足 t0 t0 t0时，时，f(t)f(t)分段连续分段连续 则则f(t)f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作的拉氏变换存在，其表达式记作 33主讲人：肖纯主讲人：肖纯线性定理线性定理 位移定理位移定理 延迟定理延迟定理 终值定理终值定理 拉氏变换基本定理：拉氏变换基本定理：数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换34主讲人：肖纯主讲人：肖纯初值定理初值定理 微分定理微分定理 积分定理积分定理 数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换35主讲人：肖纯主讲人：肖纯F(sF(s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式：a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为中具有不同的极点时，可展开为 拉氏反变换拉氏反变换 数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换36主讲人：肖纯主讲人：肖纯b.F(s)b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为含有共扼复数极点时，可展开为 数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换37主讲人：肖纯主讲人：肖纯c.F(s)c.F(s)含有多重极点时，可展开为含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。其余各极点的留数确定方法与上同。数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换38数学预备知识：拉氏变换数学预备知识：拉氏变换 典型信号的拉氏变换（典型信号的拉氏变换（1 1）39典型信号的拉氏变换（典型信号的拉氏变换（2 2）40拉氏变换的性质拉氏变换的性质 41应用拉氏变换的终值定理求应用拉氏变换的终值定理求 注意拉氏变换终值定理的适用条件：注意拉氏变换终值定理的适用条件：事实上：事实上：的极点均处在复平面的左半边。的极点均处在复平面的左半边。不满足终值定理的条件。不满足终值定理的条件。42几个拉氏变换定理的证明几个拉氏变换定理的证明 43主讲人：肖纯主讲人：肖纯拉氏变换的应用：求解微分方程（时域解）拉氏变换的应用：求解微分方程（时域解）44主讲人：肖纯主讲人：肖纯拉氏变换的应用：求解微分方程（求时域解）拉氏变换的应用：求解微分方程（求时域解）45有理分式的分解（有理分式的分解（1 1）：极点为相异实数的情况）：极点为相异实数的情况 46主讲人：肖纯主讲人：肖纯有理分式的分解（有理分式的分解（2 2）：出现极点为相同实数的情况）：出现极点为相同实数的情况 47有理分式的分解（有理分式的分解（2 2）：出现极点为相同实数的情况）：出现极点为相同实数的情况 48有理分式的分解有理分式的分解（3 3）：出现极点）：出现极点为相异复数的情为相异复数的情况况 49f(t)?50例例2 21 1中若已知中若已知在例在例2 21 1中已经求得网络微分方程为：中已经求得网络微分方程为：由拉氏变换法可得：由拉氏变换法可得：（1）51主讲人：肖纯主讲人：肖纯式中式中对（对（1）中各项求拉氏变换并代人各已知数据，整理后得：）中各项求拉氏变换并代人各已知数据，整理后得：由于电路是突然接通电源的，故可将输入信号视为阶跃输入量，即由于电路是突然接通电源的，故可将输入信号视为阶跃输入量，即（2）对（对（2）式求拉氏反变换，得）式求拉氏反变换，得到（到（1）式的时域解为：）式的时域解为：线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解52主讲人：肖纯主讲人：肖纯 前两项是由网络输入电压产生的输出分量，而与初始前两项是由网络输入电压产生的输出分量，而与初始条件无关，故称为条件无关，故称为零初始条件响应零初始条件响应；后一项则是初始；后一项则是初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输零输入响应入响应。两者统称为网络的单位阶跃响应。两者统称为网络的单位阶跃响应。从上述时域响应式中求取输出的初始值即从上述时域响应式中求取输出的初始值即t0时时刻的值刻的值 和终值即和终值即t趋于无穷大时的值？趋于无穷大时的值？线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解（3）53主讲人：肖纯主讲人：肖纯利用拉氏变换的初值定理，可以直接从（利用拉氏变换的初值定理，可以直接从（3 3）式）式中了解网络中输出电压的初始值和终值。当中了解网络中输出电压的初始值和终值。当的初始值为：的初始值为：的终值为：的终值为：线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解54主讲人：肖纯主讲人：肖纯线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解网络的输出则称为单位脉冲响应，即为：网络的输出则称为单位脉冲响应，即为：55主讲人：肖纯主讲人：肖纯用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程为：用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程为：考虑初始条件，考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换行拉氏变换，将微分方程转换为变量，将微分方程转换为变量s s的代数的代数方程；方程；由代数方程求出由代数方程求出输出量拉氏变换函数输出量拉氏变换函数的表达式的表达式对对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式的时域表达式，即为所求微分方程的解。，即为所求微分方程的解。线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解56主讲人：肖纯主讲人：肖纯 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域控制系统在复数域的数学模型的数学模型传递函数传递函数。定义：定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.3.1 2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义传递函数与脉冲响应函数的定义 57系统u(t)y(t)系统G(s)U(s)Y(s)系统微分方程系统微分方程与传递函数可与传递函数可以直接转换以直接转换!设描述线性定常系统的微分方程为设描述线性定常系统的微分方程为 因为控制理论着重分析系统的因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动态性能之结构、参数与系统的动态性能之间间的关系，所以，为简化分析，设系统的的关系，所以，为简化分析，设系统的初始条件为零初始条件为零。在。在零初始条件下，对上式取拉氏变换零初始条件下，对上式取拉氏变换系统的输出为系统的输出为58系统G(s)U(s)Y(s)单位脉冲输入信号下系统的输出单位脉冲输入信号下系统的输出 单位脉冲输入信号的拉氏变换为单位脉冲输入信号的拉氏变换为1 1 单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为 单位脉冲输入信号下系统的输出为单位脉冲输入信号下系统的输出为系统G(s)1G(s)系统g(t)可可见见，系系统统传传递递函函数数的的拉拉氏氏反反变变换换即即为为单单位位脉脉冲冲输输入入信信号号下下系系统统的的输输出出。因因此此，系系统统的的单单位位脉脉冲冲输输入入信信号号下下系系统统的的输输出出完完全全描描述述了了系系统统动动态态特特性性，所所以以也也是是系系统统的的数数学学模模型型，通通常常称为称为脉冲响应函数脉冲响应函数。定定义义 在在零零初初始始条条件件下下，线线性性定定常常系系统统在在单单位位脉脉冲冲输输入入信信号号作用下的输出响应，称为该系统的脉冲响应函数，记为作用下的输出响应，称为该系统的脉冲响应函数，记为 g(tg(t)。？思考：？思考：求系统在单位阶跃信号作用下的输出响应（单位阶跃响应）。求系统在单位阶跃信号作用下的输出响应（单位阶跃响应）。并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？59主讲人：肖纯主讲人：肖纯例例2.12.1所示所示RCRC网络的微分方程为网络的微分方程为 所以，系统的传递函数为所以，系统的传递函数为 2.3.1 2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义传递函数与脉冲响应函数的定义 60主讲人：肖纯主讲人：肖纯例例2.22.2所示二阶所示二阶RCRC网络的微分方程为网络的微分方程为 所以，系统的传递函数为所以，系统的传递函数为 2.3.1 2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义传递函数与脉冲响应函数的定义 61主讲人：肖纯主讲人：肖纯传递函数的性质：传递函数的性质：（1 1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关；入输出无关；（2 2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质；数的所有性质；（3 3）传递函数是复变量）传递函数是复变量s s 的有理真分式，即的有理真分式，即nmnm；（4 4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；（5 5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；（6 6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。的共轭复数。2.3.1 2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义传递函数与脉冲响应函数的定义 62主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.3.2 2.3.2 传递函数的表示方式传递函数的表示方式 （1）有理分式形式有理分式形式 传递函数的分母多项式传递函数的分母多项式 D(s)D(s)称为系统的称为系统的特征多项式特征多项式，D(s)=0D(s)=0称为系统的特征方程称为系统的特征方程，D(s)=0D(s)=0的根称为系统的的根称为系统的特征根特征根或极点或极点。分分母母多多项项式式的的阶阶次次定定义义为为系系统统的的阶阶次次。对对于于实实际际的的物物理理系系统统，多多项项式式D(sD(s)、N(sN(s)的的所所有有系系数数为为实实数数，且且分分母母多多项项式式的的阶阶次次 n n高于或等于分子多项式的阶次高于或等于分子多项式的阶次m m，即，即 nmnm。63主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.3.2 2.3.2 传递函数的表示方式传递函数的表示方式 （2 2）零极点形式）零极点形式 将传递函数的分子、分母多项式变将传递函数的分子、分母多项式变为为首一多项式首一多项式，然后在复数范围内，然后在复数范围内因式分解，因式分解，nmnm，得：，得：，称为系统的零点；，称为系统的零点；为系统的极点；为系统的极点；k k为系统的为系统的根轨迹放大系数根轨迹放大系数。64主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.3.2 2.3.2 传递函数的表示方式传递函数的表示方式 （2 2）零极点形式）零极点形式 系统零点、极点的分布决定了系系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用特性。在零极点图上，用“”“”表示极点位置，用表示极点位置，用“”“”表示零表示零点点65主讲人：肖纯主讲人：肖纯（2 2）零极点形式）零极点形式（传递函数是（传递函数是s s的复变函数，的复变函数，s s是复数变量）是复数变量）66主讲人：肖纯主讲人：肖纯（传递函数是（传递函数是s s的复变函数，的复变函数，s s是复数变量）是复数变量）（2 2）零极点形式）零极点形式67主讲人：肖纯主讲人：肖纯 （3 3）时间常数形式）时间常数形式 将传递函数的分子、分母多项式变为将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式尾一多项式，然，然后在复数范围内因式分解，得后在复数范围内因式分解，得 式中，式中，K K为传递系数，为传递系数，通常也为系统的通常也为系统的放大放大系数系数；为系统为系统的的时间常数时间常数。68主讲人：肖纯主讲人：肖纯问题的提出问题的提出自动控制理论采用的方法是研究系统的数学模型。自动控制理论采用的方法是研究系统的数学模型。这样，不仅避开了各种实际系统的物理背景，容这样，不仅避开了各种实际系统的物理背景，容易揭示控制系统的共性，而且使研究的工作量大易揭示控制系统的共性，而且使研究的工作量大为减少。为减少。能否找出组成系统数学模型的基本环节，任何线能否找出组成系统数学模型的基本环节，任何线性连续系统的数学模型总能由这些基本环节中的性连续系统的数学模型总能由这些基本环节中的一部分组合而成。一部分组合而成。2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节69主讲人：肖纯主讲人：肖纯传递函数的一般形式传递函数的一般形式实际系统中往往存在着延迟，输出量的变化落后实际系统中往往存在着延迟，输出量的变化落后于输入量变化的时间于输入量变化的时间称为称为纯滞后时间纯滞后时间。若延时时。若延时时间很短，可忽略不计，但许多系统尤其是过程控间很短，可忽略不计，但许多系统尤其是过程控制中，延时时间往往很长，分析系统时必须考虑制中，延时时间往往很长，分析系统时必须考虑延时效应。延时效应。下面举例说明下面举例说明2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节70主讲人：肖纯主讲人：肖纯如图所示溶解槽溶解系统，料斗中的溶质用皮带输送机如图所示溶解槽溶解系统，料斗中的溶质用皮带输送机送至加料口。送至加料口。2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节71（1）假设料斗的溶质直接落入溶解槽，则溶液浓度假设料斗的溶质直接落入溶解槽，则溶液浓度y(t)与与料斗加料量料斗加料量x(t)的关系为的关系为 传递函数为传递函数为 （2）考虑运输带输送的延迟）考虑运输带输送的延迟，则溶液浓度，则溶液浓度y(t)与料斗加料量与料斗加料量x(t)的关系为的关系为 或或传递函数为传递函数为 线性连续定常传递函数的一般形式为：线性连续定常传递函数的一般形式为：72主讲人：肖纯主讲人：肖纯2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节放大环节（比例环节）：放大环节（比例环节）：积分环节：积分环节：微分环节：微分环节：惯性环节：惯性环节：振荡环节：振荡环节：一阶微分环节：一阶微分环节：二阶微分环节：二阶微分环节：滞后环节（纯时滞环节）：滞后环节（纯时滞环节）：一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不能有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不能单独存在的。单独存在的。73主讲人：肖纯主讲人：肖纯典型环节通常分为以下六种：典型环节通常分为以下六种：（1 1）比例环节比例环节式中式中 K-K-增益增益特点：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节74主讲人：肖纯主讲人：肖纯（2 2）惯性环节）惯性环节特点：特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。输出无振荡。实例：一阶实例：一阶RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。环节。2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节式式 T-T-时间常数时间常数75主讲人：肖纯主讲人：肖纯（3 3）微分环节微分环节 理想微分理想微分一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分 特点：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。趋势。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。环节。2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节76主讲人：肖纯主讲人：肖纯（4 4）积分环节积分环节（5 5）振荡环节振荡环节式中式中 阻尼比阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间的传递函数。电枢控制的电路的输出与输入电压间的传递函数。电枢控制的直流伺服电机。直流伺服电机。特点：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节77主讲人：肖纯主讲人：肖纯（6 6）纯时间延时环节纯时间延时环节式中式中 延迟时间延迟时间特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节迟环节。2.3.3 线性系统的基本环节线性系统的基本环节78主讲人：肖纯主讲人：肖纯惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；滞后一段时间才接近所要求的输出值；惯性环节与延迟环节的区别：惯性环节与延迟环节的区别：延迟环节从输入开始后在延迟环节从输入开始后在0时间内没有输出，在时间内没有输出，在t=之后，之后，才有输出。才有输出。79主讲人：肖纯主讲人：肖纯第第2 2章章 连续控制系统的数学模型连续控制系统的数学模型 2.1 2.1 系统数学模型的概念系统数学模型的概念 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.2 2.2 微分方程描述