随机变量函数的分布.ppt
2.4 2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在实际问题中，不仅要研究随机变量，而且还要研究随机变量的函数，例如在分子物理学中已知分子的速度V是一个随机变量，这时分子的动能 就是一个随机变量函数.下面就研究如何根据随机变量的分布列（或联合分布列）或分布密度（联合密度）来求随机变量函数的分布列.一、一维随机变量函数的分布一、一维随机变量函数的分布1一维离散型随机变量函数的分布 设 g(x)是定义在随机变量的一切可能取值A的集合上的函数，这样随机变量，当取值的集合上的函数，这样随机变量时，它的取值为y=g(a),称为随机变量的函数，记为=g().设为离散型随机变量，则=g()也为离散型随机变量。若的分布列为 ，i=1，2，3，现求=f()的分布列。1)若随机变量 取不同的值时 ，随机变量函数=g()也取不同的值 ，=1，2，3，则的分布列 .例2.4.1 设的分布列为求=2+1.解：的可能取值为1,3,5,7,9,11,它们互不相同，则的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 1 3 5 7 9 11P 2）若 取不同的 时，而函数的取值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加，就得到的分布列.不妨设的可能取值为 ，则 ，即为的分布列.例2.4.2 设 的分布列为求=的分布列.解：的可能取值为0，1，4，9它们有相同的.则将它的所对应的概率相加得的分布列为0 1 2 3 4 5 P 0 1 4 9P 2二维离散型随机变量函数的分布列设()是一个二维离散型变量，是实变量x和y的单值函数，这时 仍是一个一维的离散型随机变量.设 可能取值为：令则有 例2.4.2 设和是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 和 的Poisson分布，求 的分布列.解：由与的独立性可知此例说明了Poisson分布对加法具有封闭性.通常称为该分布具有可加性.类似地可以证明二项分布也是一个具有可加性的分布，即若，是两个独立的随机变量，且 ,则 .例2.4.4 设与为独立分布的离散型随机变量，其分布列为：求 的分布列.解：=二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布 求离散型随机变量函数的分布是很简单的事.一般地，连续型随机变量的函数不一定连续型随机变量.下面我们主要讨论连续型随机变量还是连续型随机变量的情形.1.一维连续型随机变量函数的分布 设已知的分布函数 或概率密度函数 ，则随机变量函数 的分布函数可按如下方法求得：先求的分布函数，其中 .而 常常可用得分布函数 来表达或用其概率密度函数 的积分表达：再求的密度函数，通过对的分布函数 求导，求出的密度函数.这种求随机变量函数分布的方法被称为分布函数法.例2.4.5 设随机变量的密度函数为，求 的密度函数.解:先求的分布函数 ，对的分布函数 求导，得到的密度函数 注意到0 x4,即8y16时，故 将上述例子一般化，可得如下定理.定理2.4.1 设 为连续型随机变量，其密度函数为 .是随机变量的函数，若 严格单调，其反函数 h(y)具有连续导函数.则=g()的密度函数为其中，证明：不妨设g(x)是严格单调增函数，这时它的反函数h(y)也是严格单调增函数 ，且 记 ，这也意味着仅在区间取值，于是，当yb时，当ayb时，由此得的密度函数为同理可证，当y=g(x)严格单调递减函数时，结论也成立.但此时要注意 ，故要加绝对值符号，这时 利用这个定理，容易得到下面几个有用的结论.定理2.4.2 设随机变量 ，则当 时，有 也服从正态分布 .证明 当a0时，是严格增函数，仍在 上取值，其反函数为 ，由定理可得 这就是正态分布 的密度函数.同理可求得，当a0时，有 ，这是正态分布 的密度函数.这个定理表明：正态变量的线性函数仍为正态变量，若取 则 服从标准正态分布，此即上一节定理2.3.1.例2.4.6 设随机变量服从正态分布N(0,4)，试求=-的分布.解：有定理可知仍是正态变量.它的分布为N(0,4).这表明与-有相同的分布，但这两个随机变量是不想等的，所以我们要明确，分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念.定理2.4.3 若 的分布函数 为严格单调增的连续函数，其反函数 存在，则 服从0,1上的均匀分布 U0,1.证明 由于分布函数 仅在区间0,1上取值，故 当y0时，由 是不可能事件，所以 ；故当时，有 当y1时，因为 是必然事件，所以于是，的分布函数是 这正是0,1上的均匀分布的分布函数，所以，服从0,1上的均匀分布U0,1.注意注意，本例中的结论在计算机模拟中有重要的应用.定理在使用时比较方便，但要求的条件“g(x)严格单调，反函数连续可微”很强，有些场合下无法满足这个条件，例如 就无法满足条件.对于无法满足定理条件的情况，可以直接利用分布函数法.例2.4.7 设随机变量 试求 的密度函数.解：先求 的分布函数 ，由于 ，故当y0时，有 ，从而有 当y0时，有 因此，再用求导的方法求出密度函数为例2.4.8 设随机变量 服从参数为的指数分布，求=min,2的分布函数.解 由已知，的分布函数为 ，=min,2的分布函数为 当y2时，当y2时，于是 1.代入 的分布函数中可得 注意注意：在本例中，虽然为连续型随机变量，但不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量，因为的分布函数在y=2处间断.
