《初值敏感性》PPT课件.ppt

18世纪，法国数学家拉普拉斯：设想有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的力，设想有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大物体和最轻微原子的运动包容于一个公式中，那最庞大物体和最轻微原子的运动包容于一个公式中，那么对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去一么对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去一样展现在他的眼前。样展现在他的眼前。1*牛顿定律的初值敏感性牛顿定律的初值敏感性 混沌混沌(chaos)对牛顿定律确定性的绝对化理解，对牛顿定律确定性的绝对化理解，1961年年美美国国气气象象学学家家洛洛仑仑兹兹在在研研究究大大气气对对流流对对气气候候的的影影响响时时，用用牛牛顿顿力力学学建建立立了了一一组组非非线性微分方程：线性微分方程：（,b为参数）为参数）在上世纪在上世纪六十年代受到了挑战。六十年代受到了挑战。2初始值为初始值为 与的两条气象曲线：与的两条气象曲线：结论：结论：长期的天气预报是不可能准确的长期的天气预报是不可能准确的。初值敏感性初值敏感性t气候对初始值的敏感性现象称为气候对初始值的敏感性现象称为“蝴蝶效应蝴蝶效应”。3运动对初始值的依赖性可以分为两类。运动对初始值的依赖性可以分为两类。第一类是运动情况第一类是运动情况一般地依赖初值：一般地依赖初值：如单摆的自由小摆动如单摆的自由小摆动（线性微分方程）。（线性微分方程）。第二类是运动情况第二类是运动情况敏感地依赖初值：敏感地依赖初值：如气候的变化问题如气候的变化问题（非线性微分方程）。（非线性微分方程）。一般来说，一般来说，服从非线性规律的非线性系统，服从非线性规律的非线性系统，对初始值表现出敏感性。对初始值表现出敏感性。4一个典型的非线性迭代方程的例子一个典型的非线性迭代方程的例子0 0 4 4，0 0 x x 1 1生态模型生态模型一批昆虫，在一个有限的环境中生息繁衍一批昆虫，在一个有限的环境中生息繁衍 代表第代表第 i i代种群的总数代种群的总数 代表环境能够支撑和供养种群数量的最大限额代表环境能够支撑和供养种群数量的最大限额为约化的种群数量为约化的种群数量50 4，0 x 1。若若 =4，对三个初值有：对三个初值有：6 混沌混沌是在决定性动力学系统中出现的一种是在决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。貌似随机的运动。对初值敏感引起的随机性，称为对初值敏感引起的随机性，称为内在随机性，内在随机性，在在上上面面典典型型的的非非线线性性迭迭代代方方程程中中，还还发发现现有有“倍周期分叉倍周期分叉”现象：现象：当当 1 3时时,迭代的归宿是一个确定的数迭代的归宿是一个确定的数 。例如：例如：时，时，xn+1=xn=7/12(n)，周期为周期为1。当当 3时时,迭代出现多个确定的数值迭代出现多个确定的数值 。而结果的飘忽不定，称为而结果的飘忽不定，称为混沌混沌现象。现象。（=3 时，时，曲线开始分叉）曲线开始分叉）7例如：例如：=3.2 时，一个时，一个 值对应的有两个值对应的有两个 值，值，xn+2=xn,，周期为周期为2。=3.5 时，与一个时，与一个 值对应的有值对应的有4个个 值，值，xn+4=xn,周期为周期为4。即其归宿轮流取两个值：即其归宿轮流取两个值：即其归宿轮流取四个值：即其归宿轮流取四个值：即即出现出现混沌混沌现象，现象，周期为周期为。当当 3.570 4 时，最后归宿可取无穷多值，时，最后归宿可取无穷多值，8 通过倍周期分叉走向混沌通过倍周期分叉走向混沌的道路，这是目前的道路，这是目前已知的一种典型方式，如下图所示：已知的一种典型方式，如下图所示：9计算出计算出M3的轨道如下图：的轨道如下图：对天体运动的力学问题，对天体运动的力学问题，三体和三体以上的三体和三体以上的问题只有数值解。问题只有数值解。如果两个质量相等的大天体如果两个质量相等的大天体M1、M2，和一个质量小的天体和一个质量小的天体M3组成系统。组成系统。在一定的初始条件下，在一定的初始条件下，小天体长期小天体长期轨道对初值敏感，不可预测。轨道对初值敏感，不可预测。10 这种轨道不可长期预测的现象，这种轨道不可长期预测的现象，从而变成从而变成二体问题二体问题了。了。就是小行星混沌运动的一种表现。就是小行星混沌运动的一种表现。称为天体运动称为天体运动中的中的混沌现象。混沌现象。对太阳系中的行星，对太阳系中的行星，并未观察到这种无序性，并未观察到这种无序性，这是因为各行星都可看作是单独在太阳引力作用这是因为各行星都可看作是单独在太阳引力作用下运动，下运动，火星和土星之间有许多小行星。火星和土星之间有许多小行星。它们的轨道就它们的轨道就有混沌现象，有混沌现象，有的会进入地球大气层，成为流星。有的会进入地球大气层，成为流星。1992 1994 年，年，SL 9慧星撞上木星，慧星撞上木星，很可能很可能11 混沌行为是长期的现象，混沌行为是长期的现象，牛顿力学内在随机性的发现，牛顿力学内在随机性的发现，对初值敏感性的认识，民谣早有之：对初值敏感性的认识，民谣早有之：“缺掉一枚钉，缺掉一枚钉，坏了一支蹄铁；坏了一支蹄铁；缺少一支蹄铁，缺少一支蹄铁，跌翻了一匹马；跌翻了一匹马；翻了一匹马，翻了一匹马，死了一个骑马的勇士；死了一个骑马的勇士；死了这位骑马勇士，失去这场战争的胜利；死了这位骑马勇士，失去这场战争的胜利；失去了这个胜利，失去了这个胜利，亡掉了这一帝国亡掉了这一帝国!”乔治乔治赫伯特赫伯特大行星在几十亿年大行星在几十亿年的运动中，的运动中，也有可能出现混沌现象。也有可能出现混沌现象。而是对牛顿力学认识的深化。而是对牛顿力学认识的深化。不是对牛顿力学不是对牛顿力学的否定，的否定，12这正像无理数远多于有理数一样，这正像无理数远多于有理数一样，对混沌现象的研究是物理学的对混沌现象的研究是物理学的前沿前沿和和热点。热点。用用混沌学传奇混沌学传奇代序中的一段话做代序中的一段话做结束语：结束语：世界在本质上是非线性的。世界在本质上是非线性的。世界上的非线性系统远远多于线性系统，世界上的非线性系统远远多于线性系统，因此可以说，因此可以说，“混沌学之出现，是现代科学和现代技术，混沌学之出现，是现代科学和现代技术，特特 别别 是是 和和 计计 算算 机机 技技 术术 相相 结结 合合 的的 产产 物。物。天文地理，数理化生，莫不混沌，天文地理，数理化生，莫不混沌，大至宇宙，大至宇宙，小至基本粒子，小至基本粒子，无不由此理论支配，无不由此理论支配，威力之大，威力之大，影响之深，影响之深，应用之广，应用之广，莫可言状。莫可言状。”13（赵凯华，罗蔚茵）赵凯华，罗蔚茵）参考文献参考文献“混沌行为与牛顿力学的内在随机性混沌行为与牛顿力学的内在随机性”（杜婵英，漆安慎）工科物理（杜婵英，漆安慎）工科物理“混沌现象及其在工科物理教学中的适量反映混沌现象及其在工科物理教学中的适量反映”（王殖东）工科物理（王殖东）工科物理混沌学传奇混沌学传奇（卢侃，孙建华编译）（卢侃，孙建华编译）新概念物理教程新概念物理教程“力学力学”14